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Niveau 2 — Combinatoire et dénombrement — 25 min

Formule de Pascal et triangle

On s'intéresse à la formule de Pascal $\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}$ (pour $1\leq k\leq n-1$ ).

Vérifier la formule pour $n=7$ et $k=3$ .
Démontrer la formule de Pascal par un argument de dénombrement : soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $a\in E$ . Dénombrer les parties à $k$ éléments selon qu'elles contiennent $a$ ou non.
Construire les lignes $n=0$ à $n=6$ du triangle de Pascal.
Calculer la somme des termes de chaque ligne de $n=0$ à $6$ . Que remarque-t-on ? Justifier.
Calculer $\dbinom{10}{4}$ en utilisant la formule de Pascal à partir de $\dbinom93$ et $\dbinom94$ , sachant que $\dbinom93=84$ et $\dbinom94=126$ .

Niveau 2 — Combinatoire et dénombrement — 25 min

Corrigé — Formule de Pascal et triangle

$\dbinom73=35$ , $\dbinom62=15$ , $\dbinom63=20$ et $15+20=35$ ✓.
Les parties de $E$ à $k$ éléments sont au nombre de $\dbinom nk$ . Celles qui contiennent $a$ : on choisit les $k-1$ autres éléments parmi $n-1$ , soit $\dbinom{n-1}{k-1}$ . Celles qui ne contiennent pas $a$ sont des parties à $k$ éléments de $E\setminus\{a\}$ : $\dbinom{n-1}{k}$ . Ces deux familles forment une partition, d'où $\dbinom nk=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}$ .
$n=0$ : 1 ; $n=1$ : 1 1 ; $n=2$ : 1 2 1 ; $n=3$ : 1 3 3 1 ; $n=4$ : 1 4 6 4 1 ; $n=5$ : 1 5 10 10 5 1 ; $n=6$ : 1 6 15 20 15 6 1.
On trouve $1,2,4,8,16,32,64$ : la somme de la ligne $n$ vaut $2^n$ , car $\sum_{k=0}^{n}\dbinom nk$ compte toutes les parties d'un ensemble à $n$ éléments, et il y en a $2^n$ .
$\dbinom{10}{4}=\dbinom93+\dbinom94=84+126=210$ .