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Niveau 2 — Combinatoire et dénombrement — 25 min

Parties d'un ensemble à six éléments

Soit $E=\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$ . Une partie de $E$ est un sous-ensemble de $E$ (y compris $\varnothing$ et $E$ ).

Combien $E$ possède-t-il de parties ?
Pour chaque $k$ de $0$ à $6$ , donner le nombre de parties à $k$ éléments.
Vérifier que la somme obtenue vaut le nombre de parties, puis en déduire le nombre de parties de cardinal pair.
Combien de parties contiennent l'élément $1$ ? Combien contiennent $1$ mais pas $2$ ?
Combien de parties possèdent au moins deux éléments ?

Niveau 2 — Combinatoire et dénombrement — 25 min

Corrigé — Parties d'un ensemble à six éléments

$2^6=64$ .
$\dbinom60=1$ , $\dbinom61=6$ , $\dbinom62=15$ , $\dbinom63=20$ , $\dbinom64=15$ , $\dbinom65=6$ , $\dbinom66=1$ .
$1+6+15+20+15+6+1=64=2^6$ ✓. Cardinal pair : $1+15+15+1=32$ .
Contenant $1$ : $2^5=32$ . Contenant $1$ et pas $2$ : $2^4=16$ .
$64-1-6=57$ .