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Faire l'exercice sur le site

Niveau 2 — Combinatoire et dénombrement — 25 min

Constituer un comité

Une association compte 1212 membres : 77 hommes et 55 femmes. On veut former un comité de 44 personnes.

  1. Combien de comités différents peut-on former ?

  2. Combien de comités comportent exactement deux femmes ?

  3. Combien de comités comportent au moins une femme ?

  4. On choisit en plus un président parmi les 44 membres du comité. Combien de couples (comité, président) peut-on former ? Retrouver ce nombre en choisissant d'abord le président.

  5. Combien de comités comportent au plus un homme ?

Niveau 2 — Combinatoire et dénombrement — 25 min

Corrigé — Constituer un comité

  1. (124)=495\dbinom{12}{4}=495.

  2. (52)×(72)=10×21=210\dbinom52\times\dbinom72=10\times21=210.

  3. Sans femme : (74)=35\dbinom74=35. Donc 495−35=460495-35=460.

  4. Comité puis président : 495×4=1 980495\times4=1\,980. Président puis comité : 12×(113)=12×165=1 98012\times\dbinom{11}{3}=12\times165=1\,980.

  5. Aucun homme : (54)=5\dbinom54=5. Un homme : 7×(53)=707\times\dbinom53=70. Total 7575.