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Niveau 1 — Combinatoire et dénombrement — 15 min

Produit cartésien : écrire les couples

On considère E={a ; b ; c}E=\{a\,;\,b\,;\,c\} et F={1 ; 2}F=\{1\,;\,2\}.

  1. Écrire en extension l'ensemble E×FE\times F puis donner son cardinal.

  2. Écrire F×EF\times E. A-t-on E×F=F×EE\times F=F\times E ?

  3. Quel est le cardinal de E×EE\times E ? Combien de ces couples (x ; y)(x\,;\,y) vérifient x≠yx\neq y ?

  4. Combien y a-t-il de triplets dans E×F×FE\times F\times F ?

Niveau 1 — Combinatoire et dénombrement — 15 min

Corrigé — Produit cartésien : écrire les couples

  1. E×F={(a ; 1),(a ; 2),(b ; 1),(b ; 2),(c ; 1),(c ; 2)}E\times F=\{(a\,;\,1),(a\,;\,2),(b\,;\,1),(b\,;\,2),(c\,;\,1),(c\,;\,2)\} : 66 couples, soit 3×23\times2.

  2. F×E={(1 ; a),(1 ; b),(1 ; c),(2 ; a),(2 ; b),(2 ; c)}F\times E=\{(1\,;\,a),(1\,;\,b),(1\,;\,c),(2\,;\,a),(2\,;\,b),(2\,;\,c)\}. Ces ensembles sont différents (par exemple (a ; 1)∈E×F(a\,;\,1)\in E\times F mais (a ; 1)∉F×E(a\,;\,1)\notin F\times E), alors qu'ils ont le même cardinal.

  3. Card(E×E)=3×3=9\text{Card}(E\times E)=3\times3=9. Les couples avec x=yx=y sont (a ; a),(b ; b),(c ; c)(a\,;\,a),(b\,;\,b),(c\,;\,c) : 33 couples. Donc 9−3=69-3=6 couples avec x≠yx\neq y.

  4. 3×2×2=123\times2\times2=12.