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Niveau 2 — Convexité — 25 min

Coût marginal et convexité

Une entreprise produit une quantité $q$ (en milliers d'unités, $q\in[0\,;\,5]$ ). Son coût total, en milliers d'euros, est $C(q)=q^3-6q^2+15q$ .

Calculer $C'(q)$ et $C''(q)$ pour $q\in[0\,;\,5]$ .
Étudier la convexité de $C$ sur $[0\,;\,5]$ . Que représente le point d'abscisse $2$ ?
Montrer que le coût marginal $C'(q)$ est minimal pour $q=2$ et calculer ce minimum. Faire le lien avec la convexité.
Le prix de vente unitaire est $9$ . La recette est $R(q)=9q$ et le bénéfice $B(q)=R(q)-C(q)$ . Calculer $B'(q)$ et $B''(q)$ et étudier la convexité de $B$ .
Déterminer la quantité $q$ qui maximise le bénéfice, et le bénéfice maximal.

Niveau 2 — Convexité — 25 min

Corrigé — Coût marginal et convexité

$C'(q)=3q^2-12q+15$ et $C''(q)=6q-12=6(q-2)$ .
$C''(q)=6(q-2)$ est négative sur $[0\,;\,2[$ et positive sur $]2\,;\,5]$ . $C$ est donc concave sur $[0\,;\,2]$ et convexe sur $[2\,;\,5]$ . Le point d'abscisse $q=2$ est un point d'inflexion de la courbe de $C$ .
$C'' <0$ sur $[0\,;\,2[$ donc $C'$ est décroissante sur $[0\,;\,2]$ ; $C''>0$ sur $]2\,;\,5]$ donc $C'$ est croissante sur $[2\,;\,5]$ . Le coût marginal est donc minimal en $q=2$ et vaut $C'(2)=12-24+15=3$ .

Le minimum du coût marginal est atteint à l'abscisse du point d'inflexion de $C$ (là où $C$ passe de concave à convexe).
$B(q)=-q^3+6q^2-6q$ , $B'(q)=-3q^2+12q-6$ et $B''(q)=-6q+12=-6(q-2)$ .

$B''>0$ sur $[0\,;\,2[$ : $B$ est convexe sur $[0\,;\,2]$ ; $B''<0$ sur $]2\,;\,5]$ : $B$ est concave sur $[2\,;\,5]$ .
$B'(q)=0\iff q^2-4q+2=0$ , de racines $2-\sqrt2\approx0{,}59$ et $2+\sqrt2\approx3{,}41$ . $B'(q)=-3(q^2-4q+2)$ est négative avant $2-\sqrt2$ , positive entre les deux racines et négative après $2+\sqrt2$ : $B$ est maximale en $q=2+\sqrt2$ (où $B''<0$ confirme la concavité).

$B(2+\sqrt2)=4+4\sqrt2\approx9{,}66$ .