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Niveau 1 — Convexité — 15 min

Convexité à partir de la courbe de f'

On a représenté ci-dessous la courbe représentative de la dérivée f′f' d'une fonction ff définie et deux fois dérivable sur R\mathbb{R}.

Courbe représentative de la fonction dérivée f' : une parabole tournée vers le haut, coupant l'axe des abscisses en x=-1 et x=3, passant par (0 ; -3) et de minimum atteint en (1 ; -4).

  1. Lire graphiquement f′(0)f'(0) et f′(2)f'(2).

  2. Résoudre graphiquement f′(x)=0f'(x)=0. Que signifie ce résultat pour la courbe Cf\mathcal{C}_f ?

  3. Déterminer le signe de f′f' et en déduire les variations de ff.

  4. Lire les variations de f′f' et en déduire la convexité de ff.

  5. La courbe Cf\mathcal{C}_f admet-elle un point d'inflexion ? On donne f(1)=−113f(1)=-\dfrac{11}{3} : déterminer alors l'équation de la tangente à Cf\mathcal{C}_f en ce point.

Niveau 1 — Convexité — 15 min

Corrigé — Convexité à partir de la courbe de f'

  1. On lit f′(0)=−3f'(0)=-3 et f′(2)=−3f'(2)=-3 (la parabole est symétrique par rapport à la droite x=1x=1).

  2. La courbe de f′f' coupe l'axe des abscisses en x=−1x=-1 et x=3x=3 : f′(x)=0  ⟺  x∈{−1 ; 3}f'(x)=0\iff x\in\{-1\,;\,3\}. La courbe Cf\mathcal{C}_f a donc une tangente horizontale aux points d'abscisses −1-1 et 33.

  3. La courbe de f′f' est au-dessus de l'axe sur ]−∞ ; −1[]-\infty\,;\,-1[ et ]3 ; +∞[]3\,;\,+\infty[, et en dessous sur ]−1 ; 3[]-1\,;\,3[. Donc ff est strictement croissante sur ]−∞ ; −1]]-\infty\,;\,-1], strictement décroissante sur [−1 ; 3][-1\,;\,3] et strictement croissante sur [3 ; +∞[[3\,;\,+\infty[.

  4. La courbe de f′f' est décroissante sur ]−∞ ; 1]]-\infty\,;\,1] et croissante sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[ (son minimum est atteint en x=1x=1). Donc ff est concave sur ]−∞ ; 1]]-\infty\,;\,1] et convexe sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[.

  5. La convexité change en x=1x=1 : Cf\mathcal{C}_f admet un point d'inflexion d'abscisse 11, d'ordonnée f(1)=−113f(1)=-\dfrac{11}{3}.

    On lit f′(1)=−4f'(1)=-4. La tangente est y=−4(x−1)−113=−4x+4−113=−4x+13y=-4(x-1)-\dfrac{11}{3}=-4x+4-\dfrac{11}{3}=-4x+\dfrac13.