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Niveau 1 — Convexité — 15 min

Lire la convexité sur une courbe

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ , ainsi que sa tangente $T$ (en pointillés) au point $A(1\,;\,0)$ .

Courbe représentative C_f d'une fonction f sur [-1,6 ; 3,4], passant par les points (0 ; 2), (1 ; 0), (2 ; -2) ; la droite T en pointillés est la tangente à C_f au point A(1 ; 0) et passe par le point (0 ; 3).

Lire graphiquement $f(0)$ , $f(1)$ et $f(2)$ .
Sur quels intervalles la courbe semble-t-elle convexe ? concave ?
La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, lequel ?
La droite $T$ passe par $(0\,;\,3)$ et par $A$ . Déterminer graphiquement $f'(1)$ , puis une équation de $T$ .
Que peut-on dire du signe de $f''$ sur $]-\infty\,;\,1[$ puis sur $]1\,;\,+\infty[$ ? Que vaut $f''(1)$ ?

Niveau 1 — Convexité — 15 min

Corrigé — Lire la convexité sur une courbe

On lit sur le graphique : $f(0)=2$ , $f(1)=0$ et $f(2)=-2$ .
À gauche de $A$ la courbe est en dessous de sa tangente $T$ : $f$ semble concave sur $]-\infty\,;\,1]$ . À droite de $A$ elle est au-dessus de $T$ : $f$ semble convexe sur $[1\,;\,+\infty[$ .
Au point $A(1\,;\,0)$ la courbe passe de concave à convexe et traverse sa tangente $T$ : $A$ est un point d'inflexion.
$T$ passe par $(0\,;\,3)$ et $(1\,;\,0)$ : son coefficient directeur est $\dfrac{0-3}{1-0}=-3$ . Donc $f'(1)=-3$ et $T : y=-3x+3$ (ordonnée à l'origine $3$ ).
$f$ est concave sur $]-\infty\,;\,1]$ donc $f''\leq0$ sur $]-\infty\,;\,1[$ ; elle est convexe sur $[1\,;\,+\infty[$ donc $f''\geq0$ sur $]1\,;\,+\infty[$ . Comme $A$ est un point d'inflexion, $f''$ s'annule en changeant de signe en $1$ : $f''(1)=0$ . (Ici $f(x)=x^3-3x^2+2$ , $f''(x)=6x-6$ .)