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Niveau 2 — Convexité — 30 min

La fonction √(x²+1)

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle un point d'inflexion ? Déterminer l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $1$ .
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ et en déduire une inégalité.

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — La fonction √(x²+1)

Quand $x\to\pm\infty$ , $x^2+1\to+\infty$ donc $\sqrt{x^2+1}\to+\infty$ : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

$\sqrt{x^2+1}>0$ : $f'(x)$ a le signe de $x$ : négative pour $x<0$ , positive pour $x>0$ . $f(0)=1$ .

$x$ $-\infty$ $0$ $+\infty$
$f$ $+\infty$ $\searrow$ $1$ $\nearrow$ $+\infty$
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$ .
$f''(x)=\dfrac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}>0$ : $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .
$f''$ ne s'annule jamais : aucun point d'inflexion.

$f(1)=\sqrt2$ et $f'(1)=\dfrac{1}{\sqrt2}$ donc $T : y=\dfrac{1}{\sqrt2}(x-1)+\sqrt2=\dfrac{x+1}{\sqrt2}$ (car $\sqrt2=\dfrac{2}{\sqrt2}$ ).
$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$ , c'est-à-dire $\sqrt{x^2+1}\geq\dfrac{x+1}{\sqrt2}$ pour tout réel $x$ .