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Niveau 2 — Convexité — 30 min

x + 1/x : convexité sur chaque intervalle

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=x+\dfrac1x$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=x+\dfrac1x$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle un point d'inflexion ? Déterminer l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $1$ .
Étudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ sur $]0\,;\,+\infty[$ et en déduire une inégalité.

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — x + 1/x : convexité sur chaque intervalle

En $0^+$ : $\dfrac1x\to+\infty$ donc $f(x)\to+\infty$ . En $0^-$ : $\dfrac1x\to-\infty$ donc $f(x)\to-\infty$ . En $\pm\infty$ : $f(x)$ a la limite de $x$ : $-\infty$ en $-\infty$ , $+\infty$ en $+\infty$ . (La droite $x=0$ est asymptote verticale, et $f(x)-x=\dfrac1x\to0$ : la droite $y=x$ est asymptote oblique.)
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et $f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$ .

$f'(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$ a le signe de $(x-1)(x+1)$ (car $x^2>0$ ) : positif pour $|x|>1$ , négatif pour $0<|x|<1$ . $f(-1)=-2$ et $f(1)=2$ .

$x$ $-\infty$ $-1$ $0$
$f$ $-\infty$ $\nearrow$ $-2$ $\searrow$ $-\infty$

$x$ $0$ $1$ $+\infty$
$f$ $+\infty$ $\searrow$ $2$ $\nearrow$ $+\infty$
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et $f''(x)=\dfrac{2}{x^3}$ .
$f''(x)=\dfrac{2}{x^3}$ a le signe de $x$ : négatif sur $]-\infty\,;\,0[$ , positif sur $]0\,;\,+\infty[$ . $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,0[$ et convexe sur $]0\,;\,+\infty[$ .
$f''$ change de signe en $0$ , mais $0$ n'appartient pas à l'ensemble de définition : aucun point d'inflexion (la courbe n'est pas définie en $0$ ).

$f(1)=2$ et $f'(1)=0$ : la tangente est horizontale : $T : y=2$ .
$f$ est convexe sur $]0\,;\,+\infty[$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$ , c'est-à-dire $x+\dfrac1x\geq2$ pour tout $x>0$ . (On retrouve $(x-1)^2\geq0$ : $x+\dfrac1x-2=\dfrac{(x-1)^2}{x}$ .)