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Niveau 2 — Convexité — 30 min

La fonction x e^x

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\,e^{x}$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\,e^{x}$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
Déterminer le point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ et l'équation de la tangente $T$ en ce point.
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ .

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — La fonction x e^x

En $-\infty$ : $xe^x\to0$ (croissances comparées). En $+\infty$ : $x\to+\infty$ et $e^x\to+\infty$ donc $f(x)\to+\infty$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=(x+1)e^{x}$ .

$e^x>0$ : $f'(x)$ a le signe de $x+1$ . $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,-1]$ et croissante sur $[-1\,;\,+\infty[$ , de minimum $f(-1)=-e^{-1}\approx-0{,}37$ .

$x$ $-\infty$ $-1$ $+\infty$
$f$ $0$ $\searrow$ $-e^{-1}$ $\nearrow$ $+\infty$
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''(x)=(x+2)e^{x}$ .
$f''(x)=(x+2)e^x$ a le signe de $x+2$ . $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,-2]$ et convexe sur $[-2\,;\,+\infty[$ .
$f''$ change de signe en $-2$ : point d'inflexion $\left(-2\,;\,-2e^{-2}\right)$ .

$f'(-2)=-e^{-2}$ et $T : y=-e^{-2}(x+2)-2e^{-2}=-e^{-2}(x+4)$ .
Sur $]-\infty\,;\,-2]$ , $f$ est concave : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$ . Sur $[-2\,;\,+\infty[$ , $f$ est convexe : au-dessus.