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Niveau 2 — Convexité — 30 min

La fonction ln(x²+1)

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln(x^2+1)$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln(x^2+1)$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
Déterminer les points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ et l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $1$ .
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ sur $[-1\,;\,+\infty[$ .

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — La fonction ln(x²+1)

Quand $x\to\pm\infty$ , $x^2+1\to+\infty$ donc $\ln(x^2+1)\to+\infty$ (composée). $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ .

$x^2+1>0$ : $f'(x)$ a le signe de $x$ : négative pour $x<0$ , positive pour $x>0$ . $f(0)=\ln1=0$ .

$x$ $-\infty$ $0$ $+\infty$
$f$ $+\infty$ $\searrow$ $0$ $\nearrow$ $+\infty$
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''(x)=\dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$ .
$f''(x)=\dfrac{2(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}$ a le signe de $1-x^2$ : positif pour $|x|<1$ , négatif sinon. $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,-1]$ et sur $[1\,;\,+\infty[$ , convexe sur $[-1\,;\,1]$ .
$f''$ change de signe en $-1$ et en $1$ : points d'inflexion $(-1\,;\,\ln2)$ et $(1\,;\,\ln2)$ .

$f'(1)=\dfrac22=1$ et $T : y=(x-1)+\ln2=x-1+\ln2$ .
Sur $[-1\,;\,1]$ , $f$ est convexe : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$ . Sur $[1\,;\,+\infty[$ , $f$ est concave : en dessous.