Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Niveau 2 — Convexité — 30 min

e^x − x² : une fonction croissante

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-x^2$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-x^2$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
Quel est le point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ ? Déterminer l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$ .
Montrer que $e^x-x^2\leq x+1$ pour tout $x\leq\ln2$ .

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — e^x − x² : une fonction croissante

En $-\infty$ : $e^x\to0$ et $-x^2\to-\infty$ donc $f(x)\to-\infty$ . En $+\infty$ : $f(x)=e^x\left(1-\dfrac{x^2}{e^x}\right)$ et $\dfrac{x^2}{e^x}\to0$ (croissances comparées), donc $f(x)\to+\infty$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=e^x-2x$ .

On étudie $f'(x)=e^x-2x$ avec $f''(x)=e^x-2$ : $f'$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,\ln2]$ et croissante sur $[\ln2\,;\,+\infty[$ , de minimum $f'(\ln2)=2-2\ln2\approx0{,}61>0$ . Donc $f'(x)>0$ pour tout réel $x$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

$x$ $-\infty$ $+\infty$
$f$ $-\infty$ $\nearrow$ $+\infty$
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''(x)=e^x-2$ .
$f''(x)=e^x-2$ est négative pour $x<\ln2$ , positive pour $x>\ln2$ . $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,\ln2]$ et convexe sur $[\ln2\,;\,+\infty[$ .
$f''$ change de signe en $\ln2$ : point d'inflexion $\left(\ln2\,;\,2-(\ln2)^2\right)$ .

$f(0)=1$ et $f'(0)=1-0=1$ , donc $T : y=x+1$ .
$0<\ln2$ : sur $]-\infty\,;\,\ln2]$ , $f$ est concave, donc $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$ : $e^x-x^2\leq x+1$ pour tout $x\leq\ln2$ .