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Niveau 2 — Convexité — 30 min

Deux points d'inflexion dont un à tangente horizontale

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^4}{4}-x^3$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^4}{4}-x^3$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
Déterminer les points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ et l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $2$ .
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ sur $[0\,;\,+\infty[$ .

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — Deux points d'inflexion dont un à tangente horizontale

$f(x)=x^4\left(\dfrac14-\dfrac1x\right)$ : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=x^3-3x^2=x^2(x-3)$ .

$f'(x)=x^2(x-3)$ a le signe de $x-3$ (car $x^2\geq0$ ) : négative pour $x<3$ , positive pour $x>3$ . $f(3)=\dfrac{81}{4}-27=-\dfrac{27}{4}$ . ( $f'$ s'annule aussi en $0$ sans changer de signe.)

$x$ $-\infty$ $3$ $+\infty$
$f$ $+\infty$ $\searrow$ $-\dfrac{27}{4}$ $\nearrow$ $+\infty$
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ .
$f''(x)=3x(x-2)$ est positive pour $x<0$ ou $x>2$ , négative sur $]0\,;\,2[$ . $f$ est convexe sur $]-\infty\,;\,0]$ et $[2\,;\,+\infty[$ , concave sur $[0\,;\,2]$ .
$f''$ change de signe en $0$ et en $2$ : points d'inflexion $O(0\,;\,0)$ (tangente horizontale, car $f'(0)=0$ ) et $B(2\,;\,-4)$ car $f(2)=4-8=-4$ .

$f'(2)=8-12=-4$ et $T : y=-4(x-2)-4=-4x+4$ .
Sur $[0\,;\,2]$ , $f$ est concave : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$ . Sur $[2\,;\,+\infty[$ , $f$ est convexe : au-dessus.