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Niveau 2 — Convexité — 30 min

La fonction (ln x)²

On étudie la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=(\ln x)^2$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=(\ln x)^2$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
Déterminer le point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ et l'équation de la tangente $T$ en ce point.
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ .

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — La fonction (ln x)²

En $0^+$ : $\ln x\to-\infty$ donc $(\ln x)^2\to+\infty$ . En $+\infty$ : $\ln x\to+\infty$ donc $(\ln x)^2\to+\infty$ .
$f$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $f'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}$ .

$x>0$ : $f'(x)$ a le signe de $\ln x$ : négatif sur $]0\,;\,1[$ , positif sur $]1\,;\,+\infty[$ . $f(1)=0$ .

$x$ $0$ $1$ $+\infty$
$f$ $+\infty$ $\searrow$ $0$ $\nearrow$ $+\infty$
$f$ est deux fois dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $f''(x)=\dfrac{2(1-\ln x)}{x^2}$ .
$x^2>0$ : $f''(x)$ a le signe de $1-\ln x$ , positif si $x<e$ . $f$ est convexe sur $]0\,;\,e]$ et concave sur $[e\,;\,+\infty[$ .
$f''$ change de signe en $e$ : point d'inflexion $(e\,;\,1)$ car $f(e)=(\ln e)^2=1$ .

$f'(e)=\dfrac{2}{e}$ et $T : y=\dfrac2e(x-e)+1=\dfrac{2}{e}x-1$ .
Sur $]0\,;\,e]$ , $f$ est convexe : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$ . Sur $[e\,;\,+\infty[$ , $f$ est concave : en dessous.