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Niveau 2 — Convexité — 30 min

La fonction x² ln x

On étudie la fonction ff définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=x2ln⁡xf(x)=x^2\ln x. On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative.

  1. Soit ff la fonction définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=x2ln⁡xf(x)=x^2\ln x. Déterminer les limites de ff aux bornes de son ensemble de définition.

  2. Calculer f′(x)f'(x), étudier son signe et dresser le tableau de variations de ff.

  3. Calculer f′′(x)f''(x).

  4. Étudier le signe de f′′(x)f''(x) et en déduire la convexité de ff.

  5. Déterminer le point d'inflexion de Cf\mathcal{C}_f et l'équation de la tangente TT en ce point.

  6. Étudier la position relative de Cf\mathcal{C}_f et de TT.

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — La fonction x² ln x

  1. En 0+0^+ : x2ln⁡x=x×(xln⁡x)→0x^2\ln x=x\times(x\ln x)\to0 (croissances comparées). En +∞+\infty : x2→+∞x^2\to+\infty et ln⁡x→+∞\ln x\to+\infty, donc f(x)→+∞f(x)\to+\infty.

  2. ff est dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et f′(x)=x (2ln⁡x+1)f'(x)=x\,(2\ln x+1).

    x>0x>0 : f′(x)f'(x) a le signe de 2ln⁡x+12\ln x+1, positif si x>e−1/2≈0,61x>e^{-1/2}\approx0{,}61. ff est décroissante sur ]0 ; e−1/2]\left]0\,;\,e^{-1/2}\right] puis croissante. f(e−1/2)=e−1×(−12)=−12ef\left(e^{-1/2}\right)=e^{-1}\times\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac{1}{2e}.

    xx00e−1/2e^{-1/2}+∞+\infty
    ff00↘\searrow−12e-\dfrac{1}{2e}↗\nearrow+∞+\infty

  3. ff est deux fois dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et f′′(x)=2ln⁡x+3f''(x)=2\ln x+3.

  4. f′′(x)=2ln⁡x+3f''(x)=2\ln x+3 est positive si ln⁡x>−32\ln x>-\dfrac32, soit x>e−3/2≈0,22x>e^{-3/2}\approx0{,}22. ff est concave sur ]0 ; e−3/2]\left]0\,;\,e^{-3/2}\right] et convexe sur [e−3/2 ; +∞[\left[e^{-3/2}\,;\,+\infty\right[.

  5. f′′f'' change de signe en e−3/2e^{-3/2} : point d'inflexion (e−3/2 ; −32e−3)\left(e^{-3/2}\,;\,-\dfrac32e^{-3}\right).

    f′(e−3/2)=e−3/2(−3+1)=−2e−3/2f'\left(e^{-3/2}\right)=e^{-3/2}(-3+1)=-2e^{-3/2} et T:y=−2e−3/2(x−e−3/2)−32e−3=−2e−3/2x+12e−3T : y=-2e^{-3/2}\left(x-e^{-3/2}\right)-\dfrac32e^{-3}=-2e^{-3/2}x+\dfrac12e^{-3}.

  6. Sur ]0 ; e−3/2]\left]0\,;\,e^{-3/2}\right], ff est concave : Cf\mathcal{C}_f est en dessous de TT. Sur [e−3/2 ; +∞[\left[e^{-3/2}\,;\,+\infty\right[, ff est convexe : au-dessus.