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Niveau 2 — Convexité — 30 min

La fonction (ln x)/x

On étudie la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
Déterminer le point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ et l'équation de la tangente $T$ en ce point.
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ .

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — La fonction (ln x)/x

En $0^+$ : $\ln x\to-\infty$ et $\dfrac1x\to+\infty$ , donc $f(x)\to-\infty$ . En $+\infty$ : $\dfrac{\ln x}{x}\to0$ (croissances comparées).
$f$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$ .

$x^2>0$ : $f'(x)$ a le signe de $1-\ln x$ : positive pour $x<e$ , négative pour $x>e$ . $f(e)=e^{-1}$ .

$x$ $0$ $e$ $+\infty$
$f$ $-\infty$ $\nearrow$ $e^{-1}$ $\searrow$ $0$
$f$ est deux fois dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $f''(x)=\dfrac{2\ln x-3}{x^3}$ .
$x^3>0$ : $f''(x)$ a le signe de $2\ln x-3$ , positif si $\ln x>\dfrac32$ , soit $x>e^{3/2}\approx4{,}48$ . $f$ est concave sur $\left]0\,;\,e^{3/2}\right]$ et convexe sur $\left[e^{3/2}\,;\,+\infty\right[$ .
$f''$ change de signe en $e^{3/2}$ : point d'inflexion $\left(e^{3/2}\,;\,\dfrac32e^{-3/2}\right)$ .

$f'\left(e^{3/2}\right)=\dfrac{1-\frac32}{e^3}=-\dfrac{1}{2e^3}$ et $T : y=-\dfrac{1}{2e^3}\left(x-e^{3/2}\right)+\dfrac32e^{-3/2}=-\dfrac{x}{2e^3}+2e^{-3/2}$ .
Sur $\left]0\,;\,e^{3/2}\right]$ , $f$ est concave : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$ . Sur $\left[e^{3/2}\,;\,+\infty\right[$ , $f$ est convexe : au-dessus.