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Niveau 2 — Convexité — 30 min

La courbe en cloche e^{−x²}

On étudie la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^2}. On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative.

  1. Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^2}. Déterminer les limites de ff aux bornes de son ensemble de définition.

  2. Calculer f′(x)f'(x), étudier son signe et dresser le tableau de variations de ff.

  3. Calculer f′′(x)f''(x).

  4. Étudier le signe de f′′(x)f''(x) et en déduire la convexité de ff.

  5. Déterminer les points d'inflexion et l'équation de la tangente TT au point d'abscisse 22\dfrac{\sqrt2}{2}.

  6. Étudier la position relative de Cf\mathcal{C}_f et de TT sur [−22 ; +∞[\left[-\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\,+\infty\right[.

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — La courbe en cloche e^{−x²}

  1. Quand x→±∞x\to\pm\infty, −x2→−∞-x^2\to-\infty donc e−x2→0e^{-x^2}\to0 (composée de x↦−x2x\mapsto-x^2 et de exp⁡\exp en −∞-\infty). lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→+∞f(x)=0\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0.

  2. ff est dérivable sur R\mathbb{R} et f′(x)=−2x e−x2f'(x)=-2x\,e^{-x^2}.

    f′(x)=−2xe−x2f'(x)=-2xe^{-x^2} a le signe de −x-x : positive pour x<0x<0, négative pour x>0x>0. f(0)=1f(0)=1.

    xx−∞-\infty00+∞+\infty
    ff00↗\nearrow11↘\searrow00

  3. ff est deux fois dérivable sur R\mathbb{R} et f′′(x)=(4x2−2)e−x2f''(x)=(4x^2-2)e^{-x^2}.

  4. f′′(x)=2(2x2−1)e−x2f''(x)=2(2x^2-1)e^{-x^2} a le signe de 2x2−1=2(x−22)(x+22)2x^2-1=2\left(x-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\left(x+\dfrac{\sqrt2}{2}\right) : positif pour ∣x∣>22|x|>\dfrac{\sqrt2}{2}, négatif entre. ff est convexe sur ]−∞ ; −22]\left]-\infty\,;\,-\dfrac{\sqrt2}{2}\right] et [22 ; +∞[\left[\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\,+\infty\right[, concave sur [−22 ; 22]\left[-\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt2}{2}\right].

  5. f′′f'' change de signe en ±22\pm\dfrac{\sqrt2}{2} : deux points d'inflexion, d'ordonnée commune e−1/2e^{-1/2} (car (±22)2=12\left(\pm\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2=\dfrac12).

    f′(22)=−2 e−1/2f'\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-\sqrt2\,e^{-1/2}, donc T:y=−2e−1/2(x−22)+e−1/2=e−1/2(2−2 x)T : y=-\sqrt2e^{-1/2}\left(x-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)+e^{-1/2}=e^{-1/2}\left(2-\sqrt2\,x\right).

  6. Sur [−22 ; 22]\left[-\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt2}{2}\right], ff est concave : Cf\mathcal{C}_f est en dessous de TT. Sur [22 ; +∞[\left[\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\,+\infty\right[, ff est convexe : au-dessus.