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Niveau 2 — Convexité — 30 min

La fonction (x+1)e^{−x}

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1)e^{-x}$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1)e^{-x}$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
Déterminer le point d'inflexion et l'équation de la tangente $T$ en ce point.
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ .

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — La fonction (x+1)e^{−x}

En $-\infty$ : $x+1\to-\infty$ et $e^{-x}\to+\infty$ donc $f(x)\to-\infty$ . En $+\infty$ : $f(x)=\dfrac{x}{e^x}+e^{-x}\to0$ (croissances comparées).
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=-x\,e^{-x}$ .

$f'(x)=-xe^{-x}$ a le signe de $-x$ : positive pour $x<0$ , négative pour $x>0$ . $f(0)=1$ .

$x$ $-\infty$ $0$ $+\infty$
$f$ $-\infty$ $\nearrow$ $1$ $\searrow$ $0$
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''(x)=(x-1)e^{-x}$ .
$f''(x)=(x-1)e^{-x}$ a le signe de $x-1$ . $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,1]$ et convexe sur $[1\,;\,+\infty[$ .
$f''$ change de signe en $1$ : point d'inflexion $\left(1\,;\,\dfrac2e\right)$ .

$f'(1)=-e^{-1}$ et $T : y=-\dfrac1e(x-1)+\dfrac2e=\dfrac{3-x}{e}$ .
Sur $]-\infty\,;\,1]$ , $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$ (concavité) ; sur $[1\,;\,+\infty[$ , elle est au-dessus (convexité).