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Niveau 2 — Convexité — 30 min

Un produit polynôme-exponentielle

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-2x)e^{x}$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-2x)e^{x}$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
Donner les abscisses des points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ , puis l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$ .
Montrer que $f(x)\leq-2x$ pour tout $x\in[-1-\sqrt3\,;\,-1+\sqrt3]$ .

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — Un produit polynôme-exponentielle

En $-\infty$ : $f(x)=x^2e^x-2xe^x\to0$ par croissances comparées ( $x^2e^x\to0$ et $xe^x\to0$ ). En $+\infty$ : $x^2-2x\to+\infty$ et $e^x\to+\infty$ , donc $f(x)\to+\infty$ .

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=(x^2-2)e^{x}$ .

$e^x>0$ , donc $f'(x)$ a le signe de $x^2-2=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$ : positif sur $]-\infty\,;\,-\sqrt2[$ , négatif sur $]-\sqrt2\,;\,\sqrt2[$ , positif sur $]\sqrt2\,;\,+\infty[$ . $f(-\sqrt2)=(2+2\sqrt2)e^{-\sqrt2}\approx1{,}17$ et $f(\sqrt2)=(2-2\sqrt2)e^{\sqrt2}\approx-3{,}41$ .

$x$	$-\infty$		$-\sqrt2$		$\sqrt2$		$+\infty$
$f$	$0$	$\nearrow$	$(2+2\sqrt2)e^{-\sqrt2}$	$\searrow$	$(2-2\sqrt2)e^{\sqrt2}$	$\nearrow$	$+\infty$

$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''(x)=(x^2+2x-2)e^{x}$ .
$e^x>0$ : $f''(x)$ a le signe de $x^2+2x-2$ , de racines $-1-\sqrt3\approx-2{,}73$ et $-1+\sqrt3\approx0{,}73$ . $f$ est convexe sur $]-\infty\,;\,-1-\sqrt3]$ et sur $[-1+\sqrt3\,;\,+\infty[$ , concave entre les deux.
$f''$ change de signe en $-1-\sqrt3$ et en $-1+\sqrt3$ : $\mathcal{C}_f$ admet deux points d'inflexion, d'abscisses $-1-\sqrt3$ et $-1+\sqrt3$ .

$f(0)=0$ et $f'(0)=-2$ , donc $T : y=-2x$ .
$0\in]-1-\sqrt3\,;\,-1+\sqrt3[$ : $f$ est concave au voisinage de $0$ et, sur cet intervalle, $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$ : $f(x)\leq-2x$ pour $x\in[-1-\sqrt3\,;\,-1+\sqrt3]$ .