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Niveau 2 — Convexité — 30 min

Un polynôme de degré 4 : deux points d'inflexion

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4-6x^2$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4-6x^2$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
Déterminer les points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ et l'équation de la tangente $T$ au point d'inflexion d'abscisse $1$ .
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ sur $[-1\,;\,+\infty[$ .

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — Un polynôme de degré 4 : deux points d'inflexion

$f(x)=x^4\left(1-\dfrac{6}{x^2}\right)$ : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=4x^3-12x=4x(x^2-3)$ .

$f'(x)=4x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$ s'annule en $-\sqrt3$ , $0$ et $\sqrt3$ . Signe : négatif sur $]-\infty\,;\,-\sqrt3[$ , positif sur $]-\sqrt3\,;\,0[$ , négatif sur $]0\,;\,\sqrt3[$ , positif sur $]\sqrt3\,;\,+\infty[$ . $f(\pm\sqrt3)=9-18=-9$ et $f(0)=0$ .

$x$ $-\infty$ $-\sqrt3$ $0$ $\sqrt3$ $+\infty$
$f$ $+\infty$ $\searrow$ $-9$ $\nearrow$ $0$ $\searrow$ $-9$ $\nearrow$ $+\infty$
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$ .
$f''(x)=12(x-1)(x+1)$ est positive pour $x<-1$ ou $x>1$ , négative pour $-1<x<1$ . $f$ est convexe sur $]-\infty\,;\,-1]$ et sur $[1\,;\,+\infty[$ , concave sur $[-1\,;\,1]$ .
$f''$ s'annule en changeant de signe en $-1$ et en $1$ : deux points d'inflexion, $A(-1\,;\,-5)$ et $B(1\,;\,-5)$ (car $f(\pm1)=1-6=-5$ ).

$f'(1)=4-12=-8$ et $T : y=-8(x-1)-5=-8x+3$ .
Sur $[-1\,;\,1]$ , $f$ est concave : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$ . Sur $[1\,;\,+\infty[$ , $f$ est convexe : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$ .