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Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Une équation à deux solutions

Dans cet exercice, les fonctions sont définies sur des intervalles de R\mathbb{R}.

  1. Soit f(x)=ex−3xf(x)=e^x-3x définie sur R\mathbb{R}. Étudier les variations de ff et calculer f(ln⁡3)f(\ln3).

  2. Déterminer les limites de ff en −∞-\infty et en +∞+\infty.

  3. Montrer que l'équation f(x)=0f(x)=0 admet exactement deux solutions α<β\alpha<\beta.

  4. Montrer que α∈]0 ; 1[\alpha\in]0\,;\,1[ et β∈]1 ; 2[\beta\in]1\,;\,2[.

  5. Donner un encadrement d'amplitude 10−210^{-2} de α\alpha et de β\beta, puis résoudre l'inéquation ex<3xe^x<3x.

Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Corrigé — Une équation à deux solutions

  1. f′(x)=ex−3f'(x)=e^x-3, négative pour x<ln⁡3x<\ln3 et positive pour x>ln⁡3x>\ln3. ff est strictement décroissante sur ]−∞ ; ln⁡3]]-\infty\,;\,\ln3] et strictement croissante sur [ln⁡3 ; +∞[[\ln3\,;\,+\infty[.

    f(ln⁡3)=3−3ln⁡3≈−0,296<0f(\ln3)=3-3\ln3\approx-0{,}296<0.

  2. En −∞-\infty : ex→0e^x\to0 et −3x→+∞-3x\to+\infty, donc f(x)→+∞f(x)\to+\infty. En +∞+\infty : f(x)=ex(1−3xex)f(x)=e^x\left(1-\dfrac{3x}{e^x}\right) avec xex→0\dfrac{x}{e^x}\to0 (croissances comparées), donc f(x)→+∞f(x)\to+\infty.

    • Sur ]−∞ ; ln⁡3]]-\infty\,;\,\ln3] : ff est continue, strictement décroissante, d'image [3−3ln⁡3 ; +∞[[3-3\ln3\,;\,+\infty[, qui contient 00 car 3−3ln⁡3<03-3\ln3<0 : une solution α\alpha.
    • Sur [ln⁡3 ; +∞[[\ln3\,;\,+\infty[ : ff est continue, strictement croissante, d'image [3−3ln⁡3 ; +∞[∋0[3-3\ln3\,;\,+\infty[\ni0 : une solution β\beta.

    Le minimum f(ln⁡3)f(\ln3) n'est pas nul : l'équation a exactement deux solutions.

  4. f(0)=1>0f(0)=1>0 et f(1)=e−3≈−0,28<0f(1)=e-3\approx-0{,}28<0 : α∈]0 ; 1[\alpha\in]0\,;\,1[ : on est bien sur ]−∞ ; ln⁡3]]-\infty\,;\,\ln3] où ff est décroissante, car 1<ln⁡3≈1,101<\ln3\approx1{,}10.

    f(2)=e2−6≈1,39>0f(2)=e^2-6\approx1{,}39>0 et f(ln⁡3)<0f(\ln3)<0 : β∈]ln⁡3 ; 2[⊂]1 ; 2[\beta\in]\ln3\,;\,2[\subset]1\,;\,2[.

  5. À la calculatrice : 0,61<α<0,620{,}61<\alpha<0{,}62 et 1,51<β<1,521{,}51<\beta<1{,}52.

    f(x)<0  ⟺  x∈]α ; β[f(x)<0\iff x\in]\alpha\,;\,\beta[ (valeurs entre les deux racines, le minimum étant négatif). Donc ex<3xe^x<3x a pour ensemble de solutions ]α ; β[]\alpha\,;\,\beta[.