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Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Bijection et résolution d'équations

Dans cet exercice, les fonctions sont définies sur des intervalles de R\mathbb{R}.

  1. Soit f(x)=x3+xf(x)=x^3+x définie sur R\mathbb{R}. Montrer que ff réalise une bijection de R\mathbb{R} sur R\mathbb{R}.

  2. Résoudre l'équation f(x)=2f(x)=2.

  3. Résoudre l'équation f(x)=10f(x)=10 et l'équation f(x)=−2f(x)=-2.

  4. Résoudre l'inéquation x3+x≤10x^3+x\leq10.

  5. Combien l'équation x3+x=mx^3+x=m possède-t-elle de solutions selon la valeur du réel mm ?

Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Corrigé — Bijection et résolution d'équations

  1. f′(x)=3x2+1>0f'(x)=3x^2+1>0 : ff est strictement croissante sur R\mathbb{R}. Elle est continue, avec lim⁡−∞f=−∞\lim\limits_{-\infty}f=-\infty et lim⁡+∞f=+∞\lim\limits_{+\infty}f=+\infty. D'après le théorème de la bijection, ff réalise une bijection de R\mathbb{R} sur R\mathbb{R}.

  2. f(1)=1+1=2f(1)=1+1=2 donc 11 est solution. Comme ff est bijective, c'est la seule : S={1}S=\{1\}.

  3. f(2)=8+2=10f(2)=8+2=10 donc x=2x=2 est l'unique solution de f(x)=10f(x)=10. f(−1)=−1−1=−2f(-1)=-1-1=-2 donc x=−1x=-1 est l'unique solution de f(x)=−2f(x)=-2.

  4. f(x)≤10=f(2)f(x)\leq10=f(2) et ff est strictement croissante : x≤2x\leq2. S=]−∞ ; 2]S=]-\infty\,;\,2].

  5. Comme ff est une bijection de R\mathbb{R} sur R\mathbb{R}, tout réel mm possède exactement un antécédent : l'équation x3+x=mx^3+x=m a une unique solution pour tout mm.