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Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Nombre de solutions selon le paramètre m

Dans cet exercice, les fonctions sont définies sur des intervalles de R\mathbb{R}.

  1. Soit f(x)=x e−xf(x)=x\,e^{-x} définie sur R\mathbb{R}. Étudier les variations de ff et ses limites.

  2. Combien de solutions l'équation f(x)=0,2f(x)=0{,}2 possède-t-elle ?

  3. Combien de solutions l'équation f(x)=0,5f(x)=0{,}5 possède-t-elle ?

  4. Combien de solutions l'équation f(x)=0f(x)=0 possède-t-elle ? Et f(x)=−1f(x)=-1 ?

  5. Discuter, selon les valeurs du réel mm, le nombre de solutions de l'équation f(x)=mf(x)=m.

Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Corrigé — Nombre de solutions selon le paramètre m

  1. f′(x)=e−x−xe−x=(1−x)e−xf'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}, du signe de 1−x1-x. ff est strictement croissante sur ]−∞ ; 1]]-\infty\,;\,1] et strictement décroissante sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[, avec f(1)=e−1≈0,37f(1)=e^{-1}\approx0{,}37.

    Limites : en −∞-\infty, x→−∞x\to-\infty et e−x→+∞e^{-x}\to+\infty donc f→−∞f\to-\infty ; en +∞+\infty, f(x)=xex→0f(x)=\dfrac{x}{e^x}\to0 (croissances comparées).

    xx−∞-\infty11+∞+\infty
    ff−∞-\infty↗\nearrowe−1e^{-1}↘\searrow00

  2. Sur ]−∞ ; 1]]-\infty\,;\,1], ff est continue strictement croissante d'image ]−∞ ; e−1]∋0,2]-\infty\,;\,e^{-1}]\ni0{,}2 : une solution. Sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[, ff est continue strictement décroissante d'image ]0 ; e−1]∋0,2]0\,;\,e^{-1}]\ni0{,}2 : une solution. L'équation a deux solutions.

  3. Le maximum de ff est e−1≈0,37<0,5e^{-1}\approx0{,}37<0{,}5 : l'équation n'a aucune solution.

  4. f(x)=0  ⟺  x e−x=0  ⟺  x=0f(x)=0\iff x\,e^{-x}=0\iff x=0 : une solution. Pour −1-1 : sur ]−∞ ; 1]]-\infty\,;\,1] l'image est ]−∞ ; e−1]∋−1]-\infty\,;\,e^{-1}]\ni-1 : une solution ; sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[ l'image est ]0 ; e−1]∌−1]0\,;\,e^{-1}]\not\ni-1 : aucune. Donc une solution pour −1-1.

    • m>e−1m>e^{-1} : aucune solution.
    • m=e−1m=e^{-1} : une solution (x=1x=1).
    • 0<m<e−10<m<e^{-1} : deux solutions (une dans ]−∞ ; 1[]-\infty\,;\,1[, une dans ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[).
    • m≤0m\leq0 : une solution (dans ]−∞ ; 1]]-\infty\,;\,1], car l'image de [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[ est ]0 ; e−1]]0\,;\,e^{-1}]).