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Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Trois solutions d'une équation du troisième degré

Dans cet exercice, les fonctions sont définies sur des intervalles de $\mathbb{R}$ .

Soit $f(x)=x^3-3x+1$ définie sur $\mathbb{R}$ . Dresser le tableau de variations de $f$ (avec les limites).
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions.
Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la plus petite solution $\alpha_1$ .
Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha_2$ et de $\alpha_3$ .
Déterminer, selon les valeurs du réel $m$ , le nombre de solutions de l'équation $x^3-3x=m$ .

Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Corrigé — Trois solutions d'une équation du troisième degré

$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ , positive à l'extérieur des racines $-1$ et $1$ , négative entre.

$f(-1)=-1+3+1=3$ et $f(1)=1-3+1=-1$ . Limites : $-\infty$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$ .

$x$ $-\infty$ $-1$ $1$ $+\infty$
$f$ $-\infty$ $\nearrow$ $3$ $\searrow$ $-1$ $\nearrow$ $+\infty$
- Sur $]-\infty\,;\,-1]$ : $f$ est continue, strictement croissante, d'image $]-\infty\,;\,3]\ni0$ : une solution $\alpha_1$ .
- Sur $[-1\,;\,1]$ : $f$ est continue, strictement décroissante, d'image $[-1\,;\,3]\ni0$ : une solution $\alpha_2$ .
- Sur $[1\,;\,+\infty[$ : $f$ est continue, strictement croissante, d'image $[-1\,;\,+\infty[\ni0$ : une solution $\alpha_3$ .
Les trois intervalles ne se recouvrent qu'en $-1$ et $1$ où $f$ ne s'annule pas ( $f(-1)=3$ , $f(1)=-1$ ) : exactement trois solutions $\alpha_1<\alpha_2<\alpha_3$ .
$f(-2)=-8+6+1=-1<0$ et $f(-1)=3>0$ donc $\alpha_1\in]-2\,;\,-1[$ . À la calculatrice : $f(-1{,}88)<0$ et $f(-1{,}87)>0$ , donc $-1{,}88<\alpha_1<-1{,}87$ .
$f(0)=1>0$ et $f(1)=-1<0$ donc $\alpha_2\in]0\,;\,1[$ ; $f(2)=3>0$ donc $\alpha_3\in]1\,;\,2[$ . À la calculatrice : $0{,}34<\alpha_2<0{,}35$ (la fonction décroît sur $[-1\,;\,1]$ ) et $1{,}53<\alpha_3<1{,}54$ .
Soit $g(x)=x^3-3x$ (mêmes variations que $f$ ) : $g(-1)=2$ , $g(1)=-2$ , limites $\mp\infty$ .
- Si $m>2$ ou $m<-2$ : une seule solution.
- Si $m=2$ ou $m=-2$ : deux solutions (une est double, atteinte en $\mp1$ pour l'extremum).
- Si $-2<m<2$ : trois solutions.