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Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Théorème de la bijection : ln x+2x−3

Dans cet exercice, les fonctions sont définies sur des intervalles de R\mathbb{R}.

  1. Soit ff la fonction définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=ln⁡x+2x−3f(x)=\ln x+2x-3. Étudier les variations de ff.

  2. Déterminer les limites de ff en 0+0^+ et en +∞+\infty.

  3. Montrer que l'équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution α\alpha sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  4. Montrer que α∈]1 ; 2[\alpha\in]1\,;\,2[ et donner un encadrement d'amplitude 10−210^{-2} de α\alpha.

  5. Déterminer le signe de f(x)f(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et en déduire le nombre de solutions de ln⁡x=3−2x\ln x=3-2x.

Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Corrigé — Théorème de la bijection : ln x+2x−3

  1. f′(x)=1x+2>0f'(x)=\dfrac1x+2>0 pour tout x>0x>0. La fonction ff est strictement croissante sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  2. En 0+0^+ : ln⁡x→−∞\ln x\to-\infty et 2x−3→−32x-3\to-3, donc f(x)→−∞f(x)\to-\infty. En +∞+\infty : ln⁡x→+∞\ln x\to+\infty et 2x−3→+∞2x-3\to+\infty, donc f(x)→+∞f(x)\to+\infty.

  3. ff est continue et strictement croissante sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[, avec lim⁡0+f=−∞\lim\limits_{0^+}f=-\infty et lim⁡+∞f=+∞\lim\limits_{+\infty}f=+\infty. Elle réalise une bijection de ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ sur R\mathbb{R} ; l'équation f(x)=0f(x)=0 a donc une unique solution α\alpha.

  4. f(1)=0+2−3=−1<0f(1)=0+2-3=-1<0 et f(2)=ln⁡2+1≈1,69>0f(2)=\ln2+1\approx1{,}69>0 : α∈]1 ; 2[\alpha\in]1\,;\,2[.

    À la calculatrice : f(1,34)≈−0,027<0f(1{,}34)\approx-0{,}027<0 et f(1,35)≈0,0001>0f(1{,}35)\approx0{,}0001>0, donc 1,34<α<1,351{,}34<\alpha<1{,}35.

  5. ff est strictement croissante et f(α)=0f(\alpha)=0 : f(x)<0f(x)<0 sur ]0 ; α[]0\,;\,\alpha[, f(x)>0f(x)>0 sur ]α ; +∞[]\alpha\,;\,+\infty[.

    L'équation ln⁡x=3−2x\ln x=3-2x équivaut à f(x)=0f(x)=0 : elle admet une seule solution, α\alpha.