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Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Théorème de la bijection : eˣ+x−2

Dans cet exercice, les fonctions sont définies sur des intervalles de $\mathbb{R}$ .

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x+x-2$ . Étudier les variations de $f$ .
Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ .
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ .
Montrer que $\alpha\in]0\,;\,1[$ , puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ .
Résoudre l'inéquation $e^x+x\geq2$ .

Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Corrigé — Théorème de la bijection : eˣ+x−2

$f'(x)=e^x+1>0$ pour tout réel $x$ (car $e^x>0$ ). La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
En $-\infty$ : $e^x\to0$ et $x-2\to-\infty$ , donc $f(x)\to-\infty$ . En $+\infty$ : $e^x\to+\infty$ et $x-2\to+\infty$ , donc $f(x)\to+\infty$ .
$f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , avec pour limites $-\infty$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$ . Elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ , et $0\in\mathbb{R}$ a un unique antécédent $\alpha$ .
$f(0)=1+0-2=-1<0$ et $f(1)=e-1\approx1{,}72>0$ , donc $\alpha\in]0\,;\,1[$ (la fonction est strictement croissante).

En affinant à la calculatrice : $f(0{,}44)\approx-0{,}007<0$ et $f(0{,}45)\approx0{,}018>0$ , d'où $0{,}44<\alpha<0{,}45$ .
$e^x+x\geq2\iff f(x)\geq0$ . Comme $f$ est strictement croissante et $f(\alpha)=0$ : $f(x)\geq0\iff x\geq\alpha$ . L'ensemble des solutions est $[\alpha\,;\,+\infty[$ .