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Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Théorème de la bijection : x³+3x+1

Dans cet exercice, les fonctions sont définies sur des intervalles de $\mathbb{R}$ .

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+3x+1$ . Calculer $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$ .
Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ .
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ .
Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ (on pourra s'aider de la calculatrice).
En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$ .

Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Corrigé — Théorème de la bijection : x³+3x+1

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=3x^2+3=3(x^2+1)$ . Comme $x^2+1>0$ , $f'(x)>0$ pour tout réel $x$ .

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
Un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x^3=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .
$f$ est continue (polynôme) et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , avec $\lim\limits_{-\infty}f=-\infty$ et $\lim\limits_{+\infty}f=+\infty$ . D'après le théorème de la bijection, $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ .

Comme $0\in\mathbb{R}$ , l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ .
$f(-1)=-3<0$ et $f(0)=1>0$ donc $\alpha\in]-1\,;\,0[$ . En affinant : $f(-0{,}33)\approx-0{,}026<0$ et $f(-0{,}32)\approx0{,}007>0$ .

Comme $f$ est strictement croissante, $-0{,}33<\alpha<-0{,}32$ .
$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et $f(\alpha)=0$ . Donc $f(x)<0$ si $x<\alpha$ , $f(x)=0$ si $x=\alpha$ et $f(x)>0$ si $x>\alpha$ .