Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Faire l'exercice sur le site

Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Continuité et paramètres

Dans cet exercice, les fonctions sont définies sur des intervalles de R\mathbb{R}.

  1. Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+1f(x)=ax+1 si x≤2x\leq2 et f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 si x>2x>2. Déterminer aa pour que ff soit continue sur R\mathbb{R}.

  2. Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2+af(x)=x^2+a si x<1x<1 et f(x)=2x+3f(x)=2x+3 si x≥1x\geq1. Déterminer aa pour que ff soit continue sur R\mathbb{R}.

  3. Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−4x−2f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2} si x≠2x\neq2 et f(2)=af(2)=a. Déterminer aa pour que ff soit continue sur R\mathbb{R}.

  4. Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ex+af(x)=e^x+a si x≤0x\leq0 et f(x)=2x+3f(x)=2x+3 si x>0x>0. Déterminer aa pour que ff soit continue sur R\mathbb{R}.

  5. Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x+1f(x)=x+1 si x<0x<0, f(x)=ax+bf(x)=ax+b si 0≤x≤20\leq x\leq2 et f(x)=x2f(x)=x^2 si x>2x>2. Déterminer aa et bb pour que ff soit continue sur R\mathbb{R}.

Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Corrigé — Continuité et paramètres

  1. Sur chaque intervalle ]−∞ ; 2[]-\infty\,;\,2[ et ]2 ; +∞[]2\,;\,+\infty[, ff est continue (polynôme). En 22 : f(2)=2a+1f(2)=2a+1, lim⁡x→2−f(x)=2a+1\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=2a+1 et lim⁡x→2+f(x)=4−1=3\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=4-1=3.

    Continuité en 22   ⟺  2a+1=3  ⟺  a=1\iff2a+1=3\iff a=1.

  2. En 11 : f(1)=5f(1)=5, lim⁡x→1+f(x)=5\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=5 et lim⁡x→1−f(x)=1+a\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=1+a.

    Continuité   ⟺  1+a=5  ⟺  a=4\iff1+a=5\iff a=4.

  3. Pour x≠2x\neq2, f(x)=x+2f(x)=x+2 donc lim⁡x→2f(x)=4\lim\limits_{x\to2}f(x)=4. Pour que ff soit continue en 22 il faut f(2)=4f(2)=4, c'est-à-dire a=4a=4.

  4. En 00 : f(0)=1+af(0)=1+a, lim⁡x→0−f(x)=1+a\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=1+a et lim⁡x→0+f(x)=3\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=3.

    Continuité   ⟺  1+a=3  ⟺  a=2\iff1+a=3\iff a=2.

  5. En 00 : lim⁡x→0−f(x)=1\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=1 et f(0)=bf(0)=b, donc b=1b=1.

    En 22 : f(2)=2a+bf(2)=2a+b et lim⁡x→2+f(x)=4\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=4, donc 2a+b=42a+b=4, soit 2a=32a=3 et a=32a=\dfrac32.

    On obtient a=32a=\dfrac32 et b=1b=1.