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Niveau 1 — Continuité et théorème de la bijection — 15 min

Continuité et valeurs intermédiaires — série 5

Dans chaque question, les fonctions sont définies sur des intervalles de $\mathbb{R}$ .

Justifier que la fonction $f$ définie par $f(x)=e^{-x}+\dfrac1x$ est continue sur $]0\,;\,+\infty[$ .
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+1$ si $x<2$ et $f(x)=7-2x$ si $x\geq2$ . Calculer $f(2)$ et les limites de $f$ à gauche et à droite en $2$ .
Conclure : la fonction $f$ est-elle continue en $2$ ?
La fonction $f$ est continue sur son ensemble de définition. Son tableau de variations est :

$x$ $-\infty$ $0$ $3$ $+\infty$
$f$ $+\infty$ $\searrow$ $-2$ $\nearrow$ $5$ $\searrow$ $-\infty$

Combien de solutions l'équation $f(x)=0$ possède-t-elle ?
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\cos x-x$ . Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0\,;\,1]$ .
Affirmation. La fonction inverse $x\mapsto\dfrac1x$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

$x$	$-\infty$		$0$		$3$		$+\infty$
$f$	$+\infty$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$5$	$\searrow$	$-\infty$

Niveau 1 — Continuité et théorème de la bijection — 15 min

Corrigé — Continuité et valeurs intermédiaires — série 5

$x\mapsto e^{-x}$ est continue sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions continues) et la fonction inverse est continue sur $]0\,;\,+\infty[$ . Par somme, $f$ est continue sur $]0\,;\,+\infty[$ .

Donc $f$ est continue sur $]0\,;\,+\infty[$ .
$f(2)=7-4=3$ .

À gauche : $\lim\limits_{x\to2^-}(x+1)=3$ . À droite : $\lim\limits_{x\to2^+}(7-2x)=3$ .

Les trois valeurs sont égales.
Conclusion : $f$ est continue en ce point.
On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle où $f$ est continue et strictement monotone :
- Sur $]-\infty\,;\,0]$ , $f$ est continue et strictement monotone, et $0\in[-2\,;\,+\infty[$ : une solution.
- Sur $[0\,;\,3]$ , $f$ est continue et strictement monotone, et $0\in[-2\,;\,5]$ : une solution.
- Sur $[3\,;\,+\infty[$ , $f$ est continue et strictement monotone, et $0\in]-\infty\,;\,5]$ : une solution.
L'équation $f(x)=0$ possède donc exactement 3 solutions.
$f$ est continue sur $[0\,;\,1]$ comme somme de fonctions continues.

$f(0)=1$ et $f(1)=-0{,}46$ .

$f(0)$ et $f(1)$ sont de signes contraires, donc $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(1)$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[0\,;\,1]$ .
Fausse. Elle n'est pas définie en $0$ : elle ne peut pas être continue sur $\mathbb{R}$ . Elle est continue sur chacun des intervalles $]-\infty\,;\,0[$ et $]0\,;\,+\infty[$ (mais pas sur leur réunion considérée comme un intervalle).