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Niveau 1 — Continuité et théorème de la bijection — 15 min

Continuité et valeurs intermédiaires — série 4

Dans chaque question, les fonctions sont définies sur des intervalles de R\mathbb{R}.

  1. Justifier que la fonction ff définie par f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1) est continue sur R\mathbb{R}.

  2. Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−1x−1f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1} si x≠1x\neq1 et f(1)=3f(1)=3. Calculer la limite de ff en 11 et f(1)f(1).

  3. Conclure : la fonction ff est-elle continue en 11 ?

  4. La fonction ff est continue sur son ensemble de définition. Son tableau de variations est :

    xx−∞-\infty+∞+\infty
    ff−3-3↗\nearrow55

    Combien de solutions l'équation f(x)=5f(x)=5 possède-t-elle ?

  5. Soit ff la fonction définie par f(x)=ln⁡x+x−2f(x)=\ln x+x-2. Montrer que l'équation f(x)=0f(x)=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [1 ; 2][1\,;\,2].

  6. Affirmation. Si l'équation f(x)=0f(x)=0 a une solution dans [a ; b][a\,;\,b], alors f(a)×f(b)<0f(a)\times f(b)<0.

    Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

Niveau 1 — Continuité et théorème de la bijection — 15 min

Corrigé — Continuité et valeurs intermédiaires — série 4

  1. x↦x2+1x\mapsto x^2+1 est continue sur R\mathbb{R} et strictement positive, et ln⁡\ln est continue sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[. Par composition, ff est continue sur R\mathbb{R}.

    Donc ff est continue sur R\mathbb{R}.

  2. Pour x≠1x\neq1 : f(x)=(x−1)(x+1)x−1=x+1f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1, donc lim⁡x→1f(x)=2\lim\limits_{x\to1}f(x)=2.

    Or f(1)=3≠2f(1)=3\neq2 : la limite n'est pas égale à la valeur de la fonction.

  3. Conclusion : ff n'est pas continue en ce point.

  4. On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle où ff est continue et strictement monotone :

    • Sur ]−∞ ; +∞[]-\infty\,;\,+\infty[, ff est continue et strictement monotone, mais 5∉]−3 ; 5[5\notin]-3\,;\,5[ : aucune solution.

    L'équation f(x)=5f(x)=5 possède donc aucune solution.

  5. ff est continue sur [1 ; 2][1\,;\,2] (somme de ln⁡\ln, continue sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[, et d'une fonction affine).

    f(1)=−1f(1)=-1 et f(2)=0,693f(2)=0{,}693.

    f(1)f(1) et f(2)f(2) sont de signes contraires, donc 00 est compris entre f(1)f(1) et f(2)f(2). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0f(x)=0 admet au moins une solution dans [1 ; 2][1\,;\,2].

  6. Fausse. La réciproque est fausse. Contre-exemple : f(x)=x2f(x)=x^2 sur [−1 ; 1][-1\,;\,1] : f(0)=0f(0)=0 mais f(−1)×f(1)=1>0f(-1)\times f(1)=1>0.