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Niveau 1 — Continuité et théorème de la bijection — 15 min

Continuité et valeurs intermédiaires — série 3

Dans chaque question, les fonctions sont définies sur des intervalles de $\mathbb{R}$ .

Justifier que la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{2x-1}$ est continue sur $\left[\dfrac12\,;\,+\infty\right[$ .
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ si $x\neq2$ et $f(2)=4$ . Calculer la limite de $f$ en $2$ et $f(2)$ .
Conclure : la fonction $f$ est-elle continue en $2$ ?
La fonction $f$ est continue sur son ensemble de définition. Son tableau de variations est :

$x$ $0$ $2$ $+\infty$
$f$ $-\infty$ $\nearrow$ $1$ $\searrow$ $0$

Combien de solutions l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ possède-t-elle ?
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=e^{x}-3$ . Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0\,;\,2]$ .
Affirmation. Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et si $f(a)\times f(b)<0$ , alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]a\,;\,b[$ .

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

$x$	$0$		$2$		$+\infty$
$f$	$-\infty$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$0$

Niveau 1 — Continuité et théorème de la bijection — 15 min

Corrigé — Continuité et valeurs intermédiaires — série 3

$f$ est la composée de $x\mapsto2x-1$ (continue, à valeurs positives ou nulles sur $\left[\frac12\,;\,+\infty\right[$ ) et de la fonction racine carrée, continue sur $[0\,;\,+\infty[$ .

Donc $f$ est continue sur $\left[\dfrac12\,;\,+\infty\right[$ .
Pour $x\neq2$ : $f(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ , donc $\lim\limits_{x\to2}f(x)=4$ (à gauche comme à droite).

Or $f(2)=4$ : la limite est égale à la valeur de la fonction.
Conclusion : $f$ est continue en ce point.
On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle où $f$ est continue et strictement monotone :
- Sur $]0\,;\,2]$ , $f$ est continue et strictement monotone, et $\dfrac{1}{2}\in]-\infty\,;\,1]$ : une solution.
- Sur $[2\,;\,+\infty[$ , $f$ est continue et strictement monotone, et $\dfrac{1}{2}\in]0\,;\,1]$ : une solution.
L'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ possède donc exactement 2 solutions.
$f$ est continue sur $[0\,;\,2]$ comme somme de fonctions continues.

$f(0)=-2$ et $f(2)=4{,}389$ .

$f(0)$ et $f(2)$ sont de signes contraires, donc $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(2)$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[0\,;\,2]$ .
Vraie. C'est le théorème des valeurs intermédiaires : $0$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (de signes contraires), donc $0$ a un antécédent dans $[a\,;\,b]$ , et différent de $a$ et $b$ puisque $f(a)\neq0$ et $f(b)\neq0$ .