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Niveau 1 — Continuité et théorème de la bijection — 15 min

Continuité et valeurs intermédiaires — série 2

Dans chaque question, les fonctions sont définies sur des intervalles de $\mathbb{R}$ .

Justifier que la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ est continue sur $]2\,;\,+\infty[$ .
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x+1$ si $x<0$ et $f(x)=x^2+2$ si $x\geq0$ . Calculer $f(0)$ et les limites de $f$ à gauche et à droite en $0$ .
Conclure : la fonction $f$ est-elle continue en $0$ ?
La fonction $f$ est continue sur son ensemble de définition. Son tableau de variations est :

$x$ $-\infty$ $-1$ $2$ $+\infty$
$f$ $0$ $\nearrow$ $4$ $\searrow$ $-3$ $\nearrow$ $+\infty$

Combien de solutions l'équation $f(x)=1$ possède-t-elle ?
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^3-3x+1$ . Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[1\,;\,2]$ .
Affirmation. Toute fonction continue sur un intervalle $I$ est dérivable sur $I$ .

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

$x$	$-\infty$		$-1$		$2$		$+\infty$
$f$	$0$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$-3$	$\nearrow$	$+\infty$

Niveau 1 — Continuité et théorème de la bijection — 15 min

Corrigé — Continuité et valeurs intermédiaires — série 2

$f$ est le quotient de deux fonctions polynômes, donc continues. Le dénominateur $x-2$ ne s'annule pas sur $]2\,;\,+\infty[$ (il y est strictement positif).

Donc $f$ est continue sur $]2\,;\,+\infty[$ .
$f(0)=0^2+2=2$ .

À gauche : $\lim\limits_{x\to0^-}(2x+1)=1$ . À droite : $\lim\limits_{x\to0^+}(x^2+2)=2$ .

Les limites à gauche et à droite sont différentes ( $1\neq2$ ).
Conclusion : $f$ n'est pas continue en ce point.
On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle où $f$ est continue et strictement monotone :
- Sur $]-\infty\,;\,-1]$ , $f$ est continue et strictement monotone, et $1\in]0\,;\,4]$ : une solution.
- Sur $[-1\,;\,2]$ , $f$ est continue et strictement monotone, et $1\in[-3\,;\,4]$ : une solution.
- Sur $[2\,;\,+\infty[$ , $f$ est continue et strictement monotone, et $1\in[-3\,;\,+\infty[$ : une solution.
L'équation $f(x)=1$ possède donc exactement 3 solutions.
$f$ est un polynôme, donc continue sur $[1\,;\,2]$ .

$f(1)=-1$ et $f(2)=3$ .

$f(1)$ et $f(2)$ sont de signes contraires, donc $0$ est compris entre $f(1)$ et $f(2)$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[1\,;\,2]$ .
Fausse. Contre-exemple : la fonction valeur absolue $x\mapsto|x|$ est continue sur $\mathbb{R}$ mais n'est pas dérivable en $0$ (les nombres dérivés à gauche et à droite valent $-1$ et $1$ ).