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Niveau 1 — Continuité et théorème de la bijection — 15 min

Continuité et valeurs intermédiaires — série 1

Dans chaque question, les fonctions sont définies sur des intervalles de $\mathbb{R}$ .

Justifier que la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^3-2x+5$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+1$ si $x\leq1$ et $f(x)=3x-1$ si $x>1$ . Calculer $f(1)$ et les limites de $f$ à gauche et à droite en $1$ .
Conclure : la fonction $f$ est-elle continue en $1$ ?
La fonction $f$ est continue sur son ensemble de définition. Son tableau de variations est :

$x$ $-\infty$ $1$ $+\infty$
$f$ $-\infty$ $\nearrow$ $3$ $\searrow$ $-2$

Combien de solutions l'équation $f(x)=0$ possède-t-elle ?
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^3+x-1$ . Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0\,;\,1]$ .
Affirmation. Toute fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur $I$ .

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f$	$-\infty$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-2$

Niveau 1 — Continuité et théorème de la bijection — 15 min

Corrigé — Continuité et valeurs intermédiaires — série 1

$f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ .

Donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
$f(1)=1^2+1=2$ .

À gauche : $\lim\limits_{x\to1^-}(x^2+1)=2$ . À droite : $\lim\limits_{x\to1^+}(3x-1)=2$ .

Les trois valeurs sont égales.
Conclusion : $f$ est continue en ce point.
On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle où $f$ est continue et strictement monotone :
- Sur $]-\infty\,;\,1]$ , $f$ est continue et strictement monotone, et $0\in]-\infty\,;\,3]$ : une solution.
- Sur $[1\,;\,+\infty[$ , $f$ est continue et strictement monotone, et $0\in]-2\,;\,3]$ : une solution.
L'équation $f(x)=0$ possède donc exactement 2 solutions.
$f$ est un polynôme, donc continue sur $[0\,;\,1]$ .

$f(0)=-1$ et $f(1)=1$ .

$f(0)$ et $f(1)$ sont de signes contraires, donc $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(1)$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[0\,;\,1]$ .
Vraie. C'est un résultat du cours : une fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ .