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Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Le contrôle d'un petit lot

Une boîte contient $12$ pièces dont $3$ sont défectueuses. Pour la contrôler, on prélève successivement et sans remise deux pièces. On note $D_1$ (respectivement $D_2$ ) l'événement « la première (respectivement seconde) pièce est défectueuse ».

Représenter la situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité qu'aucune des deux pièces ne soit défectueuse.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement une pièce défectueuse.
Calculer la probabilité d'obtenir deux pièces défectueuses et vérifier que les trois probabilités calculées ont pour somme $1$ .
On sait qu'au moins une des deux pièces est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'il y en ait exactement une ?

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Corrigé — Le contrôle d'un petit lot

Premier niveau : $D_1$ ( $\frac{3}{12}$ ) et $\overline{D_1}$ ( $\frac{9}{12}$ ). Après $D_1$ : $D_2$ avec $\frac{2}{11}$ et $\overline{D_2}$ avec $\frac{9}{11}$ . Après $\overline{D_1}$ : $D_2$ avec $\frac{3}{11}$ et $\overline{D_2}$ avec $\frac{8}{11}$ .
$P(\overline{D_1} \cap \overline{D_2}) = \dfrac{9}{12} \times \dfrac{8}{11} = \dfrac{72}{132} = \dfrac{6}{11}$ .
$P = \dfrac{3}{12} \times \dfrac{9}{11} + \dfrac{9}{12} \times \dfrac{3}{11} = \dfrac{27}{132} + \dfrac{27}{132} = \dfrac{54}{132} = \dfrac{9}{22}$ .
$P(D_1 \cap D_2) = \dfrac{3}{12} \times \dfrac{2}{11} = \dfrac{6}{132} = \dfrac{1}{22}$ .

Vérification : $\dfrac{6}{11} + \dfrac{9}{22} + \dfrac{1}{22} = \dfrac{12 + 9 + 1}{22} = 1$ .
Soit $E$ : « au moins une défectueuse » et $F$ : « exactement une ». $P(E) = 1 - \dfrac{6}{11} = \dfrac{5}{11}$ et $F \subset E$ donc $P(E \cap F) = P(F) = \dfrac{9}{22}$ .

$P_E(F) = \dfrac{9/22}{5/11} = \dfrac{9}{22} \times \dfrac{11}{5} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9$ .