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Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Deux boules sans remise

Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ boules noires. On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne. On note $R_1$ l'événement « la première boule est rouge » et $R_2$ l'événement « la seconde boule est rouge ».

Représenter la situation par un arbre pondéré. Justifier la valeur de $P_{R_1}(R_2)$ .
Calculer la probabilité de tirer deux boules rouges.
Calculer $P(R_2)$ .
La seconde boule est rouge. Quelle est la probabilité que la première ait aussi été rouge ?
Les événements $R_1$ et $R_2$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Corrigé — Deux boules sans remise

Premier niveau : $R_1$ ( $\frac{4}{10}$ ) et $\overline{R_1}$ ( $\frac{6}{10}$ ). Après $R_1$ , il reste $9$ boules dont $3$ rouges : $P_{R_1}(R_2) = \frac39$ et $P_{R_1}(\overline{R_2}) = \frac69$ . Après $\overline{R_1}$ , il reste $9$ boules dont $4$ rouges : $P_{\overline{R_1}}(R_2) = \frac49$ et $P_{\overline{R_1}}(\overline{R_2}) = \frac59$ .
$P(R_1 \cap R_2) = \dfrac{4}{10} \times \dfrac{3}{9} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}$ .
$P(R_2) = P(R_1 \cap R_2) + P(\overline{R_1} \cap R_2) = \dfrac{2}{15} + \dfrac{6}{10} \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{6}{15} = \dfrac25$ .
$P_{R_2}(R_1) = \dfrac{P(R_1 \cap R_2)}{P(R_2)} = \dfrac{2/15}{2/5} = \dfrac{2}{15} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac13$ .
$P(R_1) \times P(R_2) = \dfrac{4}{10} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}$ alors que $P(R_1 \cap R_2) = \dfrac{2}{15}$ .

Comme $\dfrac{4}{25} \neq \dfrac{2}{15}$ , les événements ne sont pas indépendants : sans remise, le premier tirage modifie la composition de l'urne.