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Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Les achats en ligne

Dans une boutique, $40\ \%$ des clients sont des hommes. On sait que $30\ \%$ des hommes font leurs achats en ligne, et que $30\ \%$ des femmes également. On choisit un client au hasard. On note $A$ l'événement « le client est un homme » et $B$ l'événement « le client achète en ligne ».

Représenter la situation par un arbre pondéré. Donner en particulier $P(\overline{A})$ , $P_A(\overline{B})$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ .
Calculer $P(A \cap B)$ .
Calculer $P(B)$ .
Calculer $P_B(A)$ (arrondir à $10^{-3}$ si nécessaire) et interpréter ce résultat.
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — Les achats en ligne

Premier niveau : $A$ avec la probabilité $0{,}4$ et $\overline{A}$ avec la probabilité $0{,}6$ .

Second niveau, après $A$ : $B$ avec $0{,}3$ et $\overline{B}$ avec $0{,}7$ ; après $\overline{A}$ : $B$ avec $0{,}3$ et $\overline{B}$ avec $0{,}7$ .

Ainsi $P(\overline{A}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$ , $P_A(\overline{B}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$ .
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$ .
D'après la formule des probabilités totales :

$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = 0{,}12 + 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}12 + 0{,}18 = 0{,}3$ .
$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}3} \approx 0{,}400$ .

Parmi les clients qui achètent en ligne, $40{,}0\ \%$ sont des hommes, soit exactement la proportion d'hommes parmi tous les clients.
$P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$ et $P(A \cap B) = 0{,}12$ .

Ces deux valeurs sont égales : les événements $A$ et $B$ sont indépendants.