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Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Le télétravail et les retards

Dans une entreprise, $60\ \%$ des salariés pratiquent le télétravail partiel. Parmi eux, $15\ \%$ sont arrivés en retard au moins une fois cette semaine ; parmi les autres salariés, $20\ \%$ . On choisit un salarié au hasard. On note $A$ l'événement « le salarié fait du télétravail partiel » et $B$ l'événement « le salarié a été en retard cette semaine ».

Représenter la situation par un arbre pondéré. Donner en particulier $P(\overline{A})$ , $P_A(\overline{B})$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ .
Calculer $P(A \cap B)$ .
Calculer $P(B)$ .
Calculer $P_B(A)$ (arrondir à $10^{-3}$ si nécessaire) et interpréter ce résultat.
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — Le télétravail et les retards

Premier niveau : $A$ avec la probabilité $0{,}6$ et $\overline{A}$ avec la probabilité $0{,}4$ .

Second niveau, après $A$ : $B$ avec $0{,}15$ et $\overline{B}$ avec $0{,}85$ ; après $\overline{A}$ : $B$ avec $0{,}2$ et $\overline{B}$ avec $0{,}8$ .

Ainsi $P(\overline{A}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ , $P_A(\overline{B}) = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$ .
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}6 \times 0{,}15 = 0{,}09$ .
D'après la formule des probabilités totales :

$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = 0{,}09 + 0{,}4 \times 0{,}2 = 0{,}09 + 0{,}08 = 0{,}17$ .
$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}09}{0{,}17} \approx 0{,}529$ .

Parmi les salariés qui ont été en retard, environ $52{,}9\ \%$ pratiquent le télétravail partiel.
$P(A) \times P(B) = 0{,}6 \times 0{,}17 = 0{,}102$ alors que $P(A \cap B) = 0{,}09$ .

Ces deux valeurs sont différentes : les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.