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Niveau 1 — Probabilités — 15 min

L'option maths expertes

Dans un lycée, $55\ \%$ des élèves de Terminale sont des filles. Parmi les filles, $40\ \%$ suivent l'option maths expertes ; parmi les garçons, $25\ \%$ la suivent. On choisit un élève de Terminale au hasard. On note $A$ l'événement « l'élève est une fille » et $B$ l'événement « l'élève suit l'option maths expertes ».

Représenter la situation par un arbre pondéré. Donner en particulier $P(\overline{A})$ , $P_A(\overline{B})$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ .
Calculer $P(A \cap B)$ .
Calculer $P(B)$ .
Calculer $P_B(A)$ (arrondir à $10^{-3}$ si nécessaire) et interpréter ce résultat.
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — L'option maths expertes

Premier niveau : $A$ avec la probabilité $0{,}55$ et $\overline{A}$ avec la probabilité $0{,}45$ .

Second niveau, après $A$ : $B$ avec $0{,}4$ et $\overline{B}$ avec $0{,}6$ ; après $\overline{A}$ : $B$ avec $0{,}25$ et $\overline{B}$ avec $0{,}75$ .

Ainsi $P(\overline{A}) = 1 - 0{,}55 = 0{,}45$ , $P_A(\overline{B}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$ .
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}55 \times 0{,}4 = 0{,}22$ .
D'après la formule des probabilités totales :

$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = 0{,}22 + 0{,}45 \times 0{,}25 = 0{,}22 + 0{,}1125 = 0{,}3325$ .
$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}22}{0{,}3325} \approx 0{,}662$ .

Parmi les élèves qui suivent l'option, environ $66{,}2\ \%$ sont des filles.
$P(A) \times P(B) = 0{,}55 \times 0{,}3325 = 0{,}182875$ alors que $P(A \cap B) = 0{,}22$ .

Ces deux valeurs sont différentes : les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.