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Niveau 2 — Fonctions composées — 20 min

Dériver des fonctions composées — série 4

Dans chaque question, calculer la dérivée de la fonction sur l'ensemble indiqué (précisé pour que le calcul soit rigoureux) ; certaines questions demandent aussi le signe de la dérivée.

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\ln(x^2+1)$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{e^x-1}{e^x+1}$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sqrt{e^x+1}$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin^2 x$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sqrt{x^2+1}-x$ . Calculer $f'(x)$ pour $x \in \mathbb{R}$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ .

Niveau 2 — Fonctions composées — 20 min

Corrigé — Dériver des fonctions composées — série 4

Produit $uv$ avec $u(x)=x$ , $v(x)=\ln(x^2+1)$ , $v'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ :

$f'(x)=\ln(x^2+1)+x\times\dfrac{2x}{x^2+1}$ .

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = \ln(x^2+1)+\dfrac{2x^2}{x^2+1}$ .
Quotient $\dfrac uv$ avec $u(x)=e^x-1$ , $v(x)=e^x+1$ (et $u'=v'=e^x$ ) :

$f'(x)=\dfrac{e^x(e^x+1)-(e^x-1)e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{2e^x}{(e^x+1)^2}$ .

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = \dfrac{2e^x}{(e^x+1)^2}$ .
Comme $e^x+1>0$ , $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ . Forme $\sqrt u$ avec $u(x)=e^x+1$ , $u'(x)=e^x$ : $f'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ .

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = \dfrac{e^x}{2\sqrt{e^x+1}}$ .
Forme $u^2$ avec $u(x)=\sin x$ , $u'(x)=\cos x$ :

$f'(x)=2\cos x\sin x$ (on peut aussi écrire $\sin(2x)$ ).

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = 2\sin x\cos x$ .
Forme $\sqrt u$ avec $u(x)=x^2+1$ : $f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}-1=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1$ .

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1$ .
Signe : $\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=|x|\geq x$ , donc $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}<1$ si $x\geq0$ ; et si $x<0$ la fraction est négative donc aussi inférieure à $1$ . Ainsi $f'(x)<0$ sur $\mathbb{R}$ .