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Niveau 2 — Fonctions composées — 20 min

Dériver des fonctions composées — série 3

Dans chaque question, calculer la dérivée de la fonction sur l'ensemble indiqué (précisé pour que le calcul soit rigoureux) ; certaines questions demandent aussi le signe de la dérivée.

  1. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=xx2+1f(x) = x\sqrt{x^2+1}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  2. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=xx2+1f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  3. La fonction ff est définie et dérivable sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[ par f(x)=ln⁡(ln⁡x)f(x) = \ln(\ln x). Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈]1 ; +∞[x \in ]1\,;\,+\infty[.

  4. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=ecos⁡xf(x) = e^{\cos x}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  5. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=x e−xf(x) = x\,e^{-x}. Calculer f′(x)f'(x) pour x∈Rx \in \mathbb{R}.

  6. Étudier le signe de f′(x)f'(x).

Niveau 2 — Fonctions composées — 20 min

Corrigé — Dériver des fonctions composées — série 3

  1. Produit uvuv avec u(x)=xu(x)=x, v(x)=x2+1v(x)=\sqrt{x^2+1}, v′(x)=xx2+1v'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} :

    f′(x)=x2+1+x2x2+1=(x2+1)+x2x2+1f'(x)=\sqrt{x^2+1}+\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{(x^2+1)+x^2}{\sqrt{x^2+1}}.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=2x2+1x2+1f'(x) = \dfrac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}.

  2. Quotient uv\dfrac uv avec u(x)=xu(x)=x, v(x)=x2+1v(x)=\sqrt{x^2+1}, v′(x)=xx2+1v'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} :

    f′(x)=x2+1−x2x2+1x2+1=(x2+1)−x2x2+1x2+1=1(x2+1)x2+1f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\dfrac{\frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=1(x2+1)x2+1f'(x) = \dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}.

  3. Il faut x>0x>0 et ln⁡x>0\ln x>0, soit x>1x>1. Forme ln⁡u\ln u avec u(x)=ln⁡xu(x)=\ln x, u′(x)=1xu'(x)=\dfrac1x :

    f′(x)=1/xln⁡xf'(x)=\dfrac{1/x}{\ln x}.

    Pour tout x∈]1 ; +∞[x \in ]1\,;\,+\infty[ : f′(x)=1xln⁡xf'(x) = \dfrac{1}{x\ln x}.

  4. Forme eue^u avec u(x)=cos⁡xu(x)=\cos x, u′(x)=−sin⁡xu'(x)=-\sin x.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=−sin⁡x ecos⁡xf'(x) = -\sin x\,e^{\cos x}.

  5. Produit uvuv avec u(x)=xu(x)=x, v(x)=e−xv(x)=e^{-x}, v′(x)=−e−xv'(x)=-e^{-x} : f′(x)=e−x−xe−x=(1−x)e−xf'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=(1−x) e−xf'(x) = (1-x)\,e^{-x}.

  6. Signe : e−x>0e^{-x}>0 donc f′(x)f'(x) a le signe de 1−x1-x : positive si x<1x<1, nulle en 11, négative si x>1x>1.