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Niveau 2 — Fonctions composées — 20 min

Dériver des fonctions composées — série 2

Dans chaque question, calculer la dérivée de la fonction sur l'ensemble indiqué (précisé pour que le calcul soit rigoureux) ; certaines questions demandent aussi le signe de la dérivée.

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2e^{-x}$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in ]0\,;\,+\infty[$ .
La fonction $f$ est définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = e^{\sqrt{x}}$ ; elle est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in ]0\,;\,+\infty[$ .
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (e^x+1)^4$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{2x}-4e^{x}$ . Calculer $f'(x)$ pour $x \in \mathbb{R}$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ .

Niveau 2 — Fonctions composées — 20 min

Corrigé — Dériver des fonctions composées — série 2

Produit $uv$ avec $u(x)=x^2$ , $v(x)=e^{-x}$ , $v'(x)=-e^{-x}$ :

$f'(x)=2x\,e^{-x}-x^2e^{-x}=x(2-x)e^{-x}$ .

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = x(2-x)\,e^{-x}$ .
Quotient $\dfrac uv$ avec $u(x)=\ln(x^2+1)$ , $u'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ , $v(x)=x$ , $v'(x)=1$ :

$f'(x)=\dfrac{\frac{2x}{x^2+1}\times x-\ln(x^2+1)}{x^2}=\dfrac{2x^2-(x^2+1)\ln(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}$ (en multipliant numérateur et dénominateur par $x^2+1$ ).

Pour tout $x \in ]0\,;\,+\infty[$ : $f'(x) = \dfrac{2x^2-(x^2+1)\ln(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}$ .
Forme $e^u$ avec $u(x)=\sqrt x$ , $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$ (valable pour $x>0$ ) : $f'=u'e^u$ .

Pour tout $x \in ]0\,;\,+\infty[$ : $f'(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$ .
Forme $u^4$ avec $u(x)=e^x+1$ , $u'(x)=e^x$ :

$f'(x)=4e^x(e^x+1)^3$ .

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = 4e^x(e^x+1)^3$ .
$f'(x)=2e^{2x}-4e^x=2e^x(e^x-2)$ .

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = 2e^x\,(e^x-2)$ .
Signe : $2e^x>0$ donc $f'(x)$ a le signe de $e^x-2$ . Or $e^x-2>0\iff x>\ln2$ . Ainsi $f'(x)<0$ si $x<\ln 2$ , $f'(\ln2)=0$ et $f'(x)>0$ si $x>\ln2$ .