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Niveau 2 — Fonctions composées — 20 min

Dériver des fonctions composées — série 1

Dans chaque question, calculer la dérivée de la fonction sur l'ensemble indiqué (précisé pour que le calcul soit rigoureux) ; certaines questions demandent aussi le signe de la dérivée.

  1. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=x ex2f(x) = x\,e^{x^2}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  2. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=e2xex+1f(x) = \dfrac{e^{2x}}{e^x+1}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  3. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=ln⁡(ex+1)f(x) = \ln(e^x+1). Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  4. La fonction ff est définie et dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=(ln⁡x)3f(x) = (\ln x)^3. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈]0 ; +∞[x \in ]0\,;\,+\infty[.

  5. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=ln⁡(x2+1)−xf(x) = \ln(x^2+1)-x. Calculer f′(x)f'(x) pour x∈Rx \in \mathbb{R}.

  6. Étudier le signe de f′(x)f'(x).

Niveau 2 — Fonctions composées — 20 min

Corrigé — Dériver des fonctions composées — série 1

  1. Produit uvuv avec u(x)=xu(x)=x, u′(x)=1u'(x)=1, v(x)=ex2v(x)=e^{x^2}, v′(x)=2x ex2v'(x)=2x\,e^{x^2} :

    f′(x)=ex2+x×2x ex2=(1+2x2)ex2f'(x)=e^{x^2}+x\times2x\,e^{x^2}=(1+2x^2)e^{x^2}.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=(1+2x2) ex2f'(x) = (1+2x^2)\,e^{x^2}.

  2. ex+1>0e^x+1>0 donc ff est définie sur R\mathbb{R}. Quotient uv\dfrac uv avec u(x)=e2xu(x)=e^{2x}, u′(x)=2e2xu'(x)=2e^{2x}, v(x)=ex+1v(x)=e^x+1, v′(x)=exv'(x)=e^x :

    f′(x)=2e2x(ex+1)−e2xex(ex+1)2=e2x(2ex+2−ex)(ex+1)2f'(x)=\dfrac{2e^{2x}(e^x+1)-e^{2x}e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{e^{2x}(2e^x+2-e^x)}{(e^x+1)^2}.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=e2x(ex+2)(ex+1)2f'(x) = \dfrac{e^{2x}(e^x+2)}{(e^x+1)^2}.

  3. ex+1>0e^x+1>0, donc ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme ln⁡u\ln u avec u(x)=ex+1u(x)=e^x+1, u′(x)=exu'(x)=e^x : f′=u′uf'=\dfrac{u'}{u}.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=exex+1f'(x) = \dfrac{e^x}{e^x+1}.

  4. Forme u3u^3 avec u(x)=ln⁡xu(x)=\ln x, u′(x)=1xu'(x)=\dfrac1x :

    f′(x)=3×1x×(ln⁡x)2f'(x)=3\times\dfrac1x\times(\ln x)^2.

    Pour tout x∈]0 ; +∞[x \in ]0\,;\,+\infty[ : f′(x)=3(ln⁡x)2xf'(x) = \dfrac{3(\ln x)^2}{x}.

  5. Forme ln⁡u\ln u avec u(x)=x2+1u(x)=x^2+1 : f′(x)=2xx2+1−1=2x−x2−1x2+1=−(x−1)2x2+1f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}-1=\dfrac{2x-x^2-1}{x^2+1}=\dfrac{-(x-1)^2}{x^2+1}.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=−(x−1)2x2+1f'(x) = \dfrac{-(x-1)^2}{x^2+1}.

  6. Signe : le dénominateur x2+1x^2+1 est strictement positif et −(x−1)2≤0-(x-1)^2\leq0. Donc f′(x)≤0f'(x)\leq0 sur R\mathbb{R} (avec égalité seulement en x=1x=1) : ff est décroissante sur R\mathbb{R}.