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Niveau 1 — Fonctions composées — 15 min

Dériver des fonctions composées — série 5

Dans chaque question, calculer la dérivée de la fonction sur l'ensemble indiqué (celui-ci est précisé pour que le calcul soit rigoureux).

  1. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=(4x+5)3f(x) = (4x+5)^3. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  2. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=e−x2+3f(x) = e^{-x^2+3}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  3. La fonction ff est définie et dérivable sur ]2 ; +∞[]2\,;\,+\infty[ par f(x)=ln⁡(5x−10)f(x) = \ln(5x-10). Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈]2 ; +∞[x \in ]2\,;\,+\infty[.

  4. La fonction ff est définie sur [2 ; +∞[[2\,;\,+\infty[ par f(x)=4x−8f(x) = \sqrt{4x-8} ; elle est dérivable sur ]2 ; +∞[]2\,;\,+\infty[. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈]2 ; +∞[x \in ]2\,;\,+\infty[.

  5. La fonction ff est définie et dérivable sur R∖{2}\mathbb{R}\setminus\{2\} par f(x)=12x−4f(x) = \dfrac{1}{2x-4}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈R∖{2}x \in \mathbb{R}\setminus\{2\}.

Niveau 1 — Fonctions composées — 15 min

Corrigé — Dériver des fonctions composées — série 5

  1. Forme u3u^3 avec u(x)=4x+5u(x)=4x+5, u′(x)=4u'(x)=4 :

    f′(x)=3×4×(4x+5)2f'(x)=3\times4\times(4x+5)^2.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=12(4x+5)2f'(x) = 12(4x+5)^2.

  2. Forme eue^u avec u(x)=−x2+3u(x)=-x^2+3, u′(x)=−2xu'(x)=-2x.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=−2x e−x2+3f'(x) = -2x\,e^{-x^2+3}.

  3. Il faut 5x−10>05x-10>0, soit x>2x>2. Forme ln⁡u\ln u avec u(x)=5x−10u(x)=5x-10, u′(x)=5u'(x)=5.

    Pour tout x∈]2 ; +∞[x \in ]2\,;\,+\infty[ : f′(x)=55x−10=1x−2f'(x) = \dfrac{5}{5x-10}=\dfrac{1}{x-2}.

  4. Forme u\sqrt u avec u(x)=4x−8u(x)=4x-8, u′(x)=4u'(x)=4 :

    f′(x)=424x−8f'(x)=\dfrac{4}{2\sqrt{4x-8}}.

    Pour tout x∈]2 ; +∞[x \in ]2\,;\,+\infty[ : f′(x)=24x−8f'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{4x-8}}.

  5. Le dénominateur s'annule en x=2x=2. Forme 1u\dfrac1u avec u(x)=2x−4u(x)=2x-4, u′(x)=2u'(x)=2.

    Pour tout x∈R∖{2}x \in \mathbb{R}\setminus\{2\} : f′(x)=−2(2x−4)2f'(x) = \dfrac{-2}{(2x-4)^2}.