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Niveau 1 — Fonctions composées — 15 min

Dériver des fonctions composées — série 4

Dans chaque question, calculer la dérivée de la fonction sur l'ensemble indiqué (celui-ci est précisé pour que le calcul soit rigoureux).

  1. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=(x2−3x)2f(x) = (x^2-3x)^2. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  2. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=ex2−xf(x) = e^{x^2-x}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  3. La fonction ff est définie et dérivable sur ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[ par f(x)=ln⁡(x2−4)f(x) = \ln(x^2-4). Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[x \in ]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[.

  4. La fonction ff est définie sur ]−∞ ; −1] ∪ [1 ; +∞[]-\infty\,;\,-1]\,\cup\,[1\,;\,+\infty[ par f(x)=x2−1f(x) = \sqrt{x^2-1} ; elle est dérivable sur ]−∞ ; −1[ ∪ ]1 ; +∞[]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈]−∞ ; −1[ ∪ ]1 ; +∞[x \in ]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[.

  5. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=1x2+1f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

Niveau 1 — Fonctions composées — 15 min

Corrigé — Dériver des fonctions composées — série 4

  1. Forme u2u^2 avec u(x)=x2−3xu(x)=x^2-3x, u′(x)=2x−3u'(x)=2x-3 :

    f′(x)=2 u′u=2(2x−3)(x2−3x)f'(x)=2\,u'u=2(2x-3)(x^2-3x).

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=2(2x−3)(x2−3x)f'(x) = 2(2x-3)(x^2-3x).

  2. Forme eue^u avec u(x)=x2−xu(x)=x^2-x, u′(x)=2x−1u'(x)=2x-1.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=(2x−1) ex2−xf'(x) = (2x-1)\,e^{x^2-x}.

  3. Il faut x2−4>0x^2-4>0, soit x<−2x<-2 ou x>2x>2. Forme ln⁡u\ln u avec u(x)=x2−4u(x)=x^2-4, u′(x)=2xu'(x)=2x.

    Pour tout x∈]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[x \in ]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[ : f′(x)=2xx2−4f'(x) = \dfrac{2x}{x^2-4}.

  4. Forme u\sqrt u avec u(x)=x2−1u(x)=x^2-1, u′(x)=2xu'(x)=2x ; on exclut ±1\pm1 où u=0u=0 :

    f′(x)=2x2x2−1f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}.

    Pour tout x∈]−∞ ; −1[ ∪ ]1 ; +∞[x \in ]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[ : f′(x)=xx2−1f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}.

  5. Forme 1u\dfrac1u avec u(x)=x2+1>0u(x)=x^2+1>0, u′(x)=2xu'(x)=2x ; (1u)′=−u′u2\left(\dfrac1u\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=−2x(x2+1)2f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}.