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Niveau 1 — Fonctions composées — 15 min

Dériver des fonctions composées — série 3

Dans chaque question, calculer la dérivée de la fonction sur l'ensemble indiqué (celui-ci est précisé pour que le calcul soit rigoureux).

  1. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=(2−x)5f(x) = (2-x)^5. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  2. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=e−2xf(x) = e^{-2x}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  3. La fonction ff est définie et dérivable sur ]−∞ ; 3[]-\infty\,;\,3[ par f(x)=ln⁡(3−x)f(x) = \ln(3-x). Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈]−∞ ; 3[x \in ]-\infty\,;\,3[.

  4. La fonction ff est définie sur ]−∞ ; 3]]-\infty\,;\,3] par f(x)=3−xf(x) = \sqrt{3-x} ; elle est dérivable sur ]−∞ ; 3[]-\infty\,;\,3[. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈]−∞ ; 3[x \in ]-\infty\,;\,3[.

  5. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=(cos⁡x)3f(x) = (\cos x)^3. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

Niveau 1 — Fonctions composées — 15 min

Corrigé — Dériver des fonctions composées — série 3

  1. Forme u5u^5 avec u(x)=2−xu(x)=2-x, u′(x)=−1u'(x)=-1 :

    f′(x)=5×(−1)×(2−x)4f'(x)=5\times(-1)\times(2-x)^4.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=−5(2−x)4f'(x) = -5(2-x)^4.

  2. Forme eue^u avec u(x)=−2xu(x)=-2x, u′(x)=−2u'(x)=-2.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=−2e−2xf'(x) = -2e^{-2x}.

  3. Il faut 3−x>03-x>0, soit x<3x<3. Forme ln⁡u\ln u avec u(x)=3−xu(x)=3-x, u′(x)=−1u'(x)=-1.

    Pour tout x∈]−∞ ; 3[x \in ]-\infty\,;\,3[ : f′(x)=−13−x=1x−3f'(x) = \dfrac{-1}{3-x}=\dfrac{1}{x-3}.

  4. Forme u\sqrt u avec u(x)=3−xu(x)=3-x, u′(x)=−1u'(x)=-1 :

    f′(x)=−123−xf'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{3-x}}.

    Pour tout x∈]−∞ ; 3[x \in ]-\infty\,;\,3[ : f′(x)=−123−xf'(x) = \dfrac{-1}{2\sqrt{3-x}}.

  5. Forme u3u^3 avec u(x)=cos⁡xu(x)=\cos x, u′(x)=−sin⁡xu'(x)=-\sin x :

    f′(x)=3×(−sin⁡x)×cos⁡2xf'(x)=3\times(-\sin x)\times\cos^2x.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=−3sin⁡xcos⁡2xf'(x) = -3\sin x\cos^2x.