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Niveau 1 — Fonctions composées — 15 min

Dériver des fonctions composées — série 2

Dans chaque question, calculer la dérivée de la fonction sur l'ensemble indiqué (celui-ci est précisé pour que le calcul soit rigoureux).

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2+1)^3$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{x^2}$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln(x^2+1)$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sqrt{x^2+1}$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x^2)$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Niveau 1 — Fonctions composées — 15 min

Corrigé — Dériver des fonctions composées — série 2

Forme $u^3$ avec $u(x)=x^2+1$ , $u'(x)=2x$ :

$f'(x)=3\times2x\times(x^2+1)^2$ .

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = 6x(x^2+1)^2$ .
Forme $e^u$ avec $u(x)=x^2$ , $u'(x)=2x$ .

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = 2x\,e^{x^2}$ .
Comme $x^2+1>0$ pour tout réel $x$ , $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . Forme $\ln u$ avec $u(x)=x^2+1$ , $u'(x)=2x$ .

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$ .
Comme $x^2+1>0$ , $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ . Forme $\sqrt u$ avec $u(x)=x^2+1$ , $u'(x)=2x$ :

$f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}$ .

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .
Forme $\sin u$ avec $u(x)=x^2$ , $u'(x)=2x$ ; $(\sin u)'=u'\cos u$ .

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = 2x\cos(x^2)$ .