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Niveau 1 — Fonctions composées — 15 min

Dériver des fonctions composées — série 1

Dans chaque question, calculer la dérivée de la fonction sur l'ensemble indiqué (celui-ci est précisé pour que le calcul soit rigoureux).

  1. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=(3x−1)4f(x) = (3x-1)^4. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  2. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=e3x+1f(x) = e^{3x+1}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  3. La fonction ff est définie et dérivable sur ]−12 ; +∞[\left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[ par f(x)=ln⁡(2x+1)f(x) = \ln(2x+1). Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈]−12 ; +∞[x \in \left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[.

  4. La fonction ff est définie sur [−12 ; +∞[\left[-\dfrac12\,;\,+\infty\right[ par f(x)=2x+1f(x) = \sqrt{2x+1} ; elle est dérivable sur ]−12 ; +∞[\left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈]−12 ; +∞[x \in \left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[.

  5. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=cos⁡(3x+1)f(x) = \cos(3x+1). Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

Niveau 1 — Fonctions composées — 15 min

Corrigé — Dériver des fonctions composées — série 1

  1. Forme u4u^4 avec u(x)=3x−1u(x)=3x-1, u′(x)=3u'(x)=3 ; (un)′=nu′un−1(u^n)'=nu'u^{n-1} :

    f′(x)=4×3×(3x−1)3f'(x)=4\times3\times(3x-1)^3.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=12(3x−1)3f'(x) = 12(3x-1)^3.

  2. Forme eue^u avec u(x)=3x+1u(x)=3x+1, u′(x)=3u'(x)=3 ; (eu)′=u′eu(e^u)'=u'e^u.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=3e3x+1f'(x) = 3e^{3x+1}.

  3. Il faut 2x+1>02x+1>0, soit x>−12x>-\dfrac12. Forme ln⁡u\ln u avec u(x)=2x+1u(x)=2x+1, u′(x)=2u'(x)=2 ; (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}.

    Pour tout x∈]−12 ; +∞[x \in \left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[ : f′(x)=22x+1f'(x) = \dfrac{2}{2x+1}.

  4. Forme u\sqrt u avec u(x)=2x+1u(x)=2x+1, u′(x)=2u'(x)=2 ; (u)′=u′2u(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u} (valable là où u>0u>0).

    f′(x)=222x+1f'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+1}}.

    Pour tout x∈]−12 ; +∞[x \in \left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[ : f′(x)=12x+1f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}.

  5. Forme cos⁡u\cos u avec u(x)=3x+1u(x)=3x+1, u′(x)=3u'(x)=3 ; (cos⁡u)′=−u′sin⁡u(\cos u)'=-u'\sin u.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=−3sin⁡(3x+1)f'(x) = -3\sin(3x+1).