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Niveau 2 — Probabilités — 30 min

La fiabilité d'un système

Un système électronique est composé de $n$ composants. Chaque composant est défaillant avec la probabilité $0{,}02$ , indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de composants défaillants.

On suppose ici que $n = 50$ . Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer $P(X=0)$ et $P(X=1)$ (arrondir à $10^{-3}$ ).
Le système tombe en panne si au moins $2$ composants sont défaillants. Calculer la probabilité d'une panne (arrondir à $10^{-3}$ ).
Pour un système de $n$ composants, déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel la probabilité qu'au moins un composant soit défaillant dépasse $0{,}5$ .
On souhaite retrouver ce seuil avec Python. Compléter la fonction suivante qui renvoie le plus petit $n$ tel que la probabilité d'au moins un composant défaillant dépasse s.
```
def seuil(p, s):
    n = 1
    while ...... :
        n = n + 1
    return n
```
Que renvoie seuil(0.02, 0.5) ?

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Corrigé — La fiabilité d'un système

On répète $50$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (composant défaillant avec la probabilité $0{,}02$ ). Donc $X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}02)$ .
$P(X=0) = 0{,}98^{50} \approx 0{,}364$ et $P(X=1) = 50 \times 0{,}02 \times 0{,}98^{49} \approx 0{,}372$ .
$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) \approx 1 - 0{,}364 - 0{,}372 = 0{,}264$ .
$P(X \geq 1) = 1 - 0{,}98^{n} > 0{,}5 \iff 0{,}98^{n} < 0{,}5$ .

$0{,}98^{34} \approx 0{,}503 \geq 0{,}5$ et $0{,}98^{35} \approx 0{,}493 < 0{,}5$ .

Le plus petit entier est $n = 35$ .
```
def seuil(p, s):
    n = 1
    while 1 - (1 - p)**n <= s:
        n = n + 1
    return n
```
La boucle continue tant que la probabilité d'au moins un composant défaillant n'a pas dépassé s. seuil(0.02, 0.5) renvoie 35, comme à la question 4.