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Faire l'exercice sur le site

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

L'acceptation des lots

Une entreprise reçoit des lots de 2020 pièces. Chaque pièce est défectueuse avec la probabilité 0,030{,}03, indépendamment des autres. Le client contrôle toutes les pièces d'un lot et accepte le lot si celui-ci contient au plus une pièce défectueuse. On note XX le nombre de pièces défectueuses dans un lot.

  1. Justifier que XX suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  2. Calculer P(X=0)P(X=0) et P(X=1)P(X=1) (arrondir à 10−310^{-3}).

  3. En déduire la probabilité aa qu'un lot soit accepté (arrondir à 10−310^{-3}).

  4. Le client adopte une règle plus sévère : il n'accepte un lot que s'il ne contient aucune pièce défectueuse. Quelle est alors la probabilité d'acceptation ? Comparer avec la question 3.

  5. Le client reçoit 1010 lots, supposés indépendants, et applique la première règle (au plus une pièce défectueuse). On note YY le nombre de lots acceptés. Quelle est la loi de YY ? Calculer la probabilité que les 1010 lots soient acceptés, puis E(Y)E(Y).

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Corrigé — L'acceptation des lots

  1. On répète 2020 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (pièce défectueuse avec la probabilité 0,030{,}03). Donc X∼B(20 ; 0,03)X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}03).

  2. P(X=0)=0,9720≈0,544P(X=0) = 0{,}97^{20} \approx 0{,}544 et P(X=1)=20×0,03×0,9719≈0,336P(X=1) = 20 \times 0{,}03 \times 0{,}97^{19} \approx 0{,}336.

  3. Le lot est accepté si X≤1X \leq 1 : a=P(X=0)+P(X=1)≈0,544+0,336=0,880a = P(X=0) + P(X=1) \approx 0{,}544 + 0{,}336 = 0{,}880.

  4. La probabilité d'acceptation devient P(X=0)≈0,544P(X=0) \approx 0{,}544, contre 0,8800{,}880 avec la première règle : la règle sévère refuse beaucoup plus de lots (environ 46 %46\ \% des lots refusés au lieu de 12 %12\ \%).

  5. Chaque lot est accepté avec la probabilité a≈0,880a \approx 0{,}880, indépendamment des autres : Y∼B(10 ; a)Y \sim \mathcal{B}(10\,;\,a).

    P(Y=10)=a10≈0,279P(Y=10) = a^{10} \approx 0{,}279 et E(Y)=10a≈8,80E(Y) = 10a \approx 8{,}80.

    En moyenne, environ 8,80 lots sur 1010 sont acceptés.