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Faire l'exercice sur le site

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

L'examen à choix multiples

Un examen est un QCM de 2020 questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est correcte. Il faut au moins 1010 bonnes réponses pour être admis. Une candidate répond au hasard à toutes les questions, de façon indépendante. On note XX le nombre de bonnes réponses.

  1. Justifier que XX suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  2. Calculer l'espérance et l'écart-type de XX. Interpréter l'espérance.

  3. Calculer la probabilité que la candidate soit admise en répondant au hasard (arrondir à 10−310^{-3}).

  4. La candidate a en fait révisé : elle est certaine de 66 réponses et répond au hasard aux 1414 autres. On note YY le nombre de bonnes réponses parmi les 1414 questions au hasard. Quelle est la loi de YY ? Calculer la probabilité qu'elle soit admise (arrondir à 10−310^{-3}).

  5. Combien de réponses la candidate doit-elle connaître avec certitude, au minimum, pour être admise avec une probabilité d'au moins 0,90{,}9 ?

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Corrigé — L'examen à choix multiples

  1. On répète 2020 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (bonne réponse avec la probabilité 14=0,25\frac{1}{4} = 0{,}25). Donc X∼B(20 ; 0,25)X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}25).

  2. E(X)=20×0,25=5E(X) = 20 \times 0{,}25 = 5 et σ(X)=20×0,25×0,75≈1,94\sigma(X) = \sqrt{20 \times 0{,}25 \times 0{,}75} \approx 1{,}94.

    En répondant au hasard, la candidate obtient en moyenne 55 bonnes réponses, loin des 1010 nécessaires.

  3. P(X≥10)=1−P(X≤9)≈0,014P(X \geq 10) = 1 - P(X \leq 9) \approx 0{,}014.

    Elle n'a qu'environ 1,4 %1{,}4\ \% de chances d'être admise en répondant au hasard.

  4. Les 1414 réponses au hasard sont identiques et indépendantes : Y∼B(14 ; 0,25)Y \sim \mathcal{B}(14\,;\,0{,}25).

    Elle est admise si 6+Y≥106 + Y \geq 10, soit Y≥4Y \geq 4 :

    P(Y≥4)=1−P(Y≤3)≈0,479P(Y \geq 4) = 1 - P(Y \leq 3) \approx 0{,}479.

  5. Si elle connaît ss réponses, soit ZsZ_s le nombre de bonnes réponses parmi les 20−s20-s autres : Zs∼B(20−s ; 0,25)Z_s \sim \mathcal{B}(20-s\,;\,0{,}25) et elle est admise si Zs≥10−sZ_s \geq 10-s.

    Pour s=8s=8 : P(Z8≥2)≈0,842<0,9P(Z_{8} \geq 2) \approx 0{,}842 < 0{,}9.

    Pour s=9s=9 : P(Z9≥1)≈0,958≥0,9P(Z_{9} \geq 1) \approx 0{,}958 \geq 0{,}9.

    Elle doit donc connaître au moins 9 réponses avec certitude.